Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1540 / 2564
↖ ↑ ↗
← S 41.244773°
W 44.648437°		 ← 7 348.31 m → S 41.244773°
W 44.560547°		 →
↑
7 344.55 m
↓
↑
7 344.55 m
↓
S 41.310824°
W 44.648437°		 ← 7 340.88 m →
53 942 747 m²		 S 41.310824°
W 44.560547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3760986328125 y=0.6260986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3760986328125 × 212)
    floor (0.3760986328125 × 4096)
    floor (1540.5)     		tx = 1540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6260986328125 × 212)
    floor (0.6260986328125 × 4096)
    floor (2564.5)     		ty = 2564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1540 / 2564 ti = "12/1540/2564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1540/2564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1540 ÷ 212
    1540 ÷ 4096     		x = 0.3759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2564 ÷ 212
    2564 ÷ 4096     		y = 0.6259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.791534086526367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77926224} λ = -0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791534086526367))-π/2
    2×atan(0.453149091867909)-π/2
    2×0.425469625094814-π/2
    0.850939250189629-1.57079632675     		φ = -0.71985708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71985708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.244773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1540 KachelY 2564 -0.77926224 -0.71985708 -44.648437 -41.244773
    Oben rechts KachelX + 1 1541 KachelY 2564 -0.77772826 -0.71985708 -44.560547 -41.244773
    Unten links KachelX 1540 KachelY + 1 2565 -0.77926224 -0.72100989 -44.648437 -41.310824
    Unten rechts KachelX + 1 1541 KachelY + 1 2565 -0.77772826 -0.72100989 -44.560547 -41.310824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71985708--0.72100989) × R
    0.00115281 × 6371000     		dl = 7344.55251000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71985708--0.72100989) × R
    0.00115281 × 6371000     		dr = 7344.55251000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77926224--0.77772826) × cos(-0.71985708) × R
    0.00153398000000005 × 0.751899960719653 × 6371000     		do = 7348.30822561592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77926224--0.77772826) × cos(-0.72100989) × R
    0.00153398000000005 × 0.75113943989275 × 6371000     		du = 7340.87566578078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71985708)-sin(-0.72100989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751899960719653-0.75113943989275)×R²
    abs(-0.77772826--0.77926224)×0.000760520826903255×R²
    0.00153398000000005×0.000760520826903255×6371000²
    0.00153398000000005×0.000760520826903255×40589641000000     		ar = 53942747.183736m²