Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1540 / 3589
↖ ↑ ↗
← S 79.253585°
W 44.648437°		 ← 1 822.30 m → S 79.253585°
W 44.560547°		 →
↑
1 820.96 m
↓
↑
1 820.96 m
↓
S 79.269962°
W 44.648437°		 ← 1 819.55 m →
3 315 828 m²		 S 79.269962°
W 44.560547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3760986328125 y=0.8763427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3760986328125 × 212)
    floor (0.3760986328125 × 4096)
    floor (1540.5)     		tx = 1540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8763427734375 × 212)
    floor (0.8763427734375 × 4096)
    floor (3589.5)     		ty = 3589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1540 / 3589 ti = "12/1540/3589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1540/3589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1540 ÷ 212
    1540 ÷ 4096     		x = 0.3759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3589 ÷ 212
    3589 ÷ 4096     		y = 0.876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.75244140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36386439406421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77926224} λ = -0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36386439406421))-π/2
    2×atan(0.0940560503531271)-π/2
    2×0.093780156413739-π/2
    0.187560312827478-1.57079632675     		φ = -1.38323601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38323601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.253585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1540 KachelY 3589 -0.77926224 -1.38323601 -44.648437 -79.253585
    Oben rechts KachelX + 1 1541 KachelY 3589 -0.77772826 -1.38323601 -44.560547 -79.253585
    Unten links KachelX 1540 KachelY + 1 3590 -0.77926224 -1.38352183 -44.648437 -79.269962
    Unten rechts KachelX + 1 1541 KachelY + 1 3590 -0.77772826 -1.38352183 -44.560547 -79.269962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38323601--1.38352183) × R
    0.000285819999999992 × 6371000     		dl = 1820.95921999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38323601--1.38352183) × R
    0.000285819999999992 × 6371000     		dr = 1820.95921999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77926224--0.77772826) × cos(-1.38323601) × R
    0.00153398000000005 × 0.186462556064473 × 6371000     		do = 1822.29605809065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77926224--0.77772826) × cos(-1.38352183) × R
    0.00153398000000005 × 0.186181741143653 × 6371000     		du = 1819.55165763801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38323601)-sin(-1.38352183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186462556064473-0.186181741143653)×R²
    abs(-0.77772826--0.77926224)×0.00028081492082041×R²
    0.00153398000000005×0.00028081492082041×6371000²
    0.00153398000000005×0.00028081492082041×40589641000000     		ar = 3315828.11046894m²