Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1540 / 516
↖ ↑ ↗
← N 66.231457°
E 90.703125°		 ← 7 877.87 m → N 66.231457°
E 90.878906°		 →
↑
7 888.95 m
↓
↑
7 888.95 m
↓
N 66.160510°
E 90.703125°		 ← 7 900.01 m →
62 235 477 m²		 N 66.160510°
E 90.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752197265625 y=0.252197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752197265625 × 211)
    floor (0.752197265625 × 2048)
    floor (1540.5)     		tx = 1540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.252197265625 × 211)
    floor (0.252197265625 × 2048)
    floor (516.5)     		ty = 516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1540 / 516 ti = "11/1540/516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1540/516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1540 ÷ 211
    1540 ÷ 2048     		x = 0.751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 516 ÷ 211
    516 ÷ 2048     		y = 0.251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751953125 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58306817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251953125 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.55852448044727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58306817} λ = 1.58306817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55852448044727))-π/2
    2×atan(4.75180468914848)-π/2
    2×1.36337666408679-π/2
    2.72675332817358-1.57079632675     		φ = 1.15595700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58306817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15595700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.231457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1540 KachelY 516 1.58306817 1.15595700 90.703125 66.231457
    Oben rechts KachelX + 1 1541 KachelY 516 1.58613613 1.15595700 90.878906 66.231457
    Unten links KachelX 1540 KachelY + 1 517 1.58306817 1.15471874 90.703125 66.160510
    Unten rechts KachelX + 1 1541 KachelY + 1 517 1.58613613 1.15471874 90.878906 66.160510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15595700-1.15471874) × R
    0.00123825999999982 × 6371000     		dl = 7888.95445999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15595700-1.15471874) × R
    0.00123825999999982 × 6371000     		dr = 7888.95445999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58306817-1.58613613) × cos(1.15595700) × R
    0.00306796000000009 × 0.403042890509652 × 6371000     		do = 7877.86552023071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58306817-1.58613613) × cos(1.15471874) × R
    0.00306796000000009 × 0.40417581336684 × 6371000     		du = 7900.00959998966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15595700)-sin(1.15471874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403042890509652-0.40417581336684)×R²
    abs(1.58613613-1.58306817)×0.0011329228571883×R²
    0.00306796000000009×0.0011329228571883×6371000²
    0.00306796000000009×0.0011329228571883×40589641000000     		ar = 62235477.1015662m²