Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1542 / 1542
↖ ↑ ↗
← S 66.930060°
E 91.054688°		 ← 7 659.18 m → S 66.930060°
E 91.230469°		 →
↑
7 648.39 m
↓
↑
7 648.39 m
↓
S 66.998844°
E 91.054688°		 ← 7 637.58 m →
58 497 767 m²		 S 66.998844°
E 91.230469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753173828125 y=0.753173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753173828125 × 211)
    floor (0.753173828125 × 2048)
    floor (1542.5)     		tx = 1542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753173828125 × 211)
    floor (0.753173828125 × 2048)
    floor (1542.5)     		ty = 1542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1542 / 1542 ti = "11/1542/1542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1542/1542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1542 ÷ 211
    1542 ÷ 2048     		x = 0.7529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1542 ÷ 211
    1542 ÷ 2048     		y = 0.7529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7529296875 × 2 - 1) × π
    0.505859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58920410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7529296875 × 2 - 1) × π
    -0.505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5892040962041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58920410} λ = 1.58920410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5892040962041))-π/2
    2×atan(0.204087981509463)-π/2
    2×0.201323203370746-π/2
    0.402646406741491-1.57079632675     		φ = -1.16814992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58920410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16814992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.930060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1542 KachelY 1542 1.58920410 -1.16814992 91.054688 -66.930060
    Oben rechts KachelX + 1 1543 KachelY 1542 1.59227206 -1.16814992 91.230469 -66.930060
    Unten links KachelX 1542 KachelY + 1 1543 1.58920410 -1.16935042 91.054688 -66.998844
    Unten rechts KachelX + 1 1543 KachelY + 1 1543 1.59227206 -1.16935042 91.230469 -66.998844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16814992--1.16935042) × R
    0.00120049999999994 × 6371000     		dl = 7648.3854999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16814992--1.16935042) × R
    0.00120049999999994 × 6371000     		dr = 7648.3854999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58920410-1.59227206) × cos(-1.16814992) × R
    0.00306796000000009 × 0.3918544778977 × 6371000     		do = 7659.17710761448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58920410-1.59227206) × cos(-1.16935042) × R
    0.00306796000000009 × 0.390749703126382 × 6371000     		du = 7637.58320958647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16814992)-sin(-1.16935042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3918544778977-0.390749703126382)×R²
    abs(1.59227206-1.58920410)×0.00110477477131732×R²
    0.00306796000000009×0.00110477477131732×6371000²
    0.00306796000000009×0.00110477477131732×40589641000000     		ar = 58497766.9291063m²