Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1542 / 2566
↖ ↑ ↗
← S 41.376808°
W 44.472656°		 ← 7 333.44 m → S 41.376808°
W 44.384766°		 →
↑
7 329.77 m
↓
↑
7 329.77 m
↓
S 41.442727°
W 44.472656°		 ← 7 326 m →
53 725 198 m²		 S 41.442727°
W 44.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3765869140625 y=0.6265869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3765869140625 × 212)
    floor (0.3765869140625 × 4096)
    floor (1542.5)     		tx = 1542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6265869140625 × 212)
    floor (0.6265869140625 × 4096)
    floor (2566.5)     		ty = 2566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1542 / 2566 ti = "12/1542/2566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1542/2566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1542 ÷ 212
    1542 ÷ 4096     		x = 0.37646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2566 ÷ 212
    2566 ÷ 4096     		y = 0.62646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77619428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.794602048102051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77619428} λ = -0.77619428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794602048102051))-π/2
    2×atan(0.451760978294344)-π/2
    2×0.42431739168652-π/2
    0.84863478337304-1.57079632675     		φ = -0.72216154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77619428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72216154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.376808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1542 KachelY 2566 -0.77619428 -0.72216154 -44.472656 -41.376808
    Oben rechts KachelX + 1 1543 KachelY 2566 -0.77466030 -0.72216154 -44.384766 -41.376808
    Unten links KachelX 1542 KachelY + 1 2567 -0.77619428 -0.72331203 -44.472656 -41.442727
    Unten rechts KachelX + 1 1543 KachelY + 1 2567 -0.77466030 -0.72331203 -44.384766 -41.442727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72216154--0.72331203) × R
    0.00115049 × 6371000     		dl = 7329.77179000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72216154--0.72331203) × R
    0.00115049 × 6371000     		dr = 7329.77179000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77619428--0.77466030) × cos(-0.72216154) × R
    0.00153398000000005 × 0.750378687593506 × 6371000     		do = 7333.44084376956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77619428--0.77466030) × cos(-0.72331203) × R
    0.00153398000000005 × 0.749617707839755 × 6371000     		du = 7326.0037988485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72216154)-sin(-0.72331203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750378687593506-0.749617707839755)×R²
    abs(-0.77466030--0.77619428)×0.000760979753751112×R²
    0.00153398000000005×0.000760979753751112×6371000²
    0.00153398000000005×0.000760979753751112×40589641000000     		ar = 53725197.8252756m²