Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1543 / 3591
↖ ↑ ↗
← S 79.286313°
W 44.384766°		 ← 1 816.81 m → S 79.286313°
W 44.296875°		 →
↑
1 815.48 m
↓
↑
1 815.48 m
↓
S 79.302640°
W 44.384766°		 ← 1 814.07 m →
3 295 901 m²		 S 79.302640°
W 44.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3768310546875 y=0.8768310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3768310546875 × 212)
    floor (0.3768310546875 × 4096)
    floor (1543.5)     		tx = 1543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8768310546875 × 212)
    floor (0.8768310546875 × 4096)
    floor (3591.5)     		ty = 3591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1543 / 3591 ti = "12/1543/3591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1543/3591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1543 ÷ 212
    1543 ÷ 4096     		x = 0.376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3591 ÷ 212
    3591 ÷ 4096     		y = 0.876708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.24658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77466030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876708984375 × 2 - 1) × π
    -0.75341796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36693235563989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77466030} λ = -0.77466030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36693235563989))-π/2
    2×atan(0.0937679321983871)-π/2
    2×0.0934945570932897-π/2
    0.186989114186579-1.57079632675     		φ = -1.38380721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77466030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.384766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38380721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.286313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1543 KachelY 3591 -0.77466030 -1.38380721 -44.384766 -79.286313
    Oben rechts KachelX + 1 1544 KachelY 3591 -0.77312632 -1.38380721 -44.296875 -79.286313
    Unten links KachelX 1543 KachelY + 1 3592 -0.77466030 -1.38409217 -44.384766 -79.302640
    Unten rechts KachelX + 1 1544 KachelY + 1 3592 -0.77312632 -1.38409217 -44.296875 -79.302640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38380721--1.38409217) × R
    0.00028495999999989 × 6371000     		dl = 1815.4801599993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38380721--1.38409217) × R
    0.00028495999999989 × 6371000     		dr = 1815.4801599993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77466030--0.77312632) × cos(-1.38380721) × R
    0.00153397999999993 × 0.185901343343195 × 6371000     		do = 1816.81133369694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77466030--0.77312632) × cos(-1.38409217) × R
    0.00153397999999993 × 0.18562134310359 × 6371000     		du = 1814.07489511289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38380721)-sin(-1.38409217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185901343343195-0.18562134310359)×R²
    abs(-0.77312632--0.77466030)×0.000280000239604283×R²
    0.00153397999999993×0.000280000239604283×6371000²
    0.00153397999999993×0.000280000239604283×40589641000000     		ar = 3295900.97811431m²