Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1544 / 1560
↖ ↑ ↗
← S 68.138852°
E 91.406250°		 ← 7 278.11 m → S 68.138852°
E 91.582031°		 →
↑
7 267.78 m
↓
↑
7 267.78 m
↓
S 68.204212°
E 91.406250°		 ← 7 257.41 m →
52 820 506 m²		 S 68.204212°
E 91.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.754150390625 y=0.761962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.754150390625 × 211)
    floor (0.754150390625 × 2048)
    floor (1544.5)     		tx = 1544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761962890625 × 211)
    floor (0.761962890625 × 2048)
    floor (1560.5)     		ty = 1560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1544 / 1560 ti = "11/1544/1560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1544/1560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1544 ÷ 211
    1544 ÷ 2048     		x = 0.75390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1560 ÷ 211
    1560 ÷ 2048     		y = 0.76171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75390625 × 2 - 1) × π
    0.5078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59534002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76171875 × 2 - 1) × π
    -0.5234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64442740456641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59534002} λ = 1.59534002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64442740456641))-π/2
    2×atan(0.193123112552967)-π/2
    2×0.190774508502458-π/2
    0.381549017004917-1.57079632675     		φ = -1.18924731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59534002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18924731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.138852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1544 KachelY 1560 1.59534002 -1.18924731 91.406250 -68.138852
    Oben rechts KachelX + 1 1545 KachelY 1560 1.59840798 -1.18924731 91.582031 -68.138852
    Unten links KachelX 1544 KachelY + 1 1561 1.59534002 -1.19038807 91.406250 -68.204212
    Unten rechts KachelX + 1 1545 KachelY + 1 1561 1.59840798 -1.19038807 91.582031 -68.204212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18924731--1.19038807) × R
    0.00114075999999996 × 6371000     		dl = 7267.78195999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18924731--1.19038807) × R
    0.00114075999999996 × 6371000     		dr = 7267.78195999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59534002-1.59840798) × cos(-1.18924731) × R
    0.00306795999999987 × 0.372358540952008 × 6371000     		do = 7278.11004734441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59534002-1.59840798) × cos(-1.19038807) × R
    0.00306795999999987 × 0.371299572138779 × 6371000     		du = 7257.41147134374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18924731)-sin(-1.19038807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372358540952008-0.371299572138779)×R²
    abs(1.59840798-1.59534002)×0.00105896881322975×R²
    0.00306795999999987×0.00105896881322975×6371000²
    0.00306795999999987×0.00105896881322975×40589641000000     		ar = 52820506.2644568m²