Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1544 / 2567
↖ ↑ ↗
← S 41.442727°
W 44.296875°		 ← 7 326 m → S 41.442727°
W 44.208985°		 →
↑
7 322.25 m
↓
↑
7 322.25 m
↓
S 41.508577°
W 44.296875°		 ← 7 318.56 m →
53 615 631 m²		 S 41.508577°
W 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3770751953125 y=0.6268310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3770751953125 × 212)
    floor (0.3770751953125 × 4096)
    floor (1544.5)     		tx = 1544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6268310546875 × 212)
    floor (0.6268310546875 × 4096)
    floor (2567.5)     		ty = 2567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1544 / 2567 ti = "12/1544/2567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1544/2567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1544 ÷ 212
    1544 ÷ 4096     		x = 0.376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2567 ÷ 212
    2567 ÷ 4096     		y = 0.626708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626708984375 × 2 - 1) × π
    -0.25341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.796136028889893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77312632} λ = -0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.796136028889893))-π/2
    2×atan(0.451068516879982)-π/2
    2×0.423742150259236-π/2
    0.847484300518473-1.57079632675     		φ = -0.72331203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72331203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.442727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1544 KachelY 2567 -0.77312632 -0.72331203 -44.296875 -41.442727
    Oben rechts KachelX + 1 1545 KachelY 2567 -0.77159234 -0.72331203 -44.208985 -41.442727
    Unten links KachelX 1544 KachelY + 1 2568 -0.77312632 -0.72446134 -44.296875 -41.508577
    Unten rechts KachelX + 1 1545 KachelY + 1 2568 -0.77159234 -0.72446134 -44.208985 -41.508577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72331203--0.72446134) × R
    0.00114930999999996 × 6371000     		dl = 7322.25400999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72331203--0.72446134) × R
    0.00114930999999996 × 6371000     		dr = 7322.25400999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77312632--0.77159234) × cos(-0.72331203) × R
    0.00153398000000005 × 0.749617707839755 × 6371000     		do = 7326.0037988485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77312632--0.77159234) × cos(-0.72446134) × R
    0.00153398000000005 × 0.748856517896165 × 6371000     		du = 7318.56469974497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72331203)-sin(-0.72446134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749617707839755-0.748856517896165)×R²
    abs(-0.77159234--0.77312632)×0.000761189943589646×R²
    0.00153398000000005×0.000761189943589646×6371000²
    0.00153398000000005×0.000761189943589646×40589641000000     		ar = 53615631.1085713m²