Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1544 / 520
↖ ↑ ↗
← N 65.946472°
E 91.406250°		 ← 7 966.74 m → N 65.946472°
E 91.582031°		 →
↑
7 977.89 m
↓
↑
7 977.89 m
↓
N 65.874725°
E 91.406250°		 ← 7 989.09 m →
63 646 959 m²		 N 65.874725°
E 91.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.754150390625 y=0.254150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.754150390625 × 211)
    floor (0.754150390625 × 2048)
    floor (1544.5)     		tx = 1544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254150390625 × 211)
    floor (0.254150390625 × 2048)
    floor (520.5)     		ty = 520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1544 / 520 ti = "11/1544/520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1544/520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1544 ÷ 211
    1544 ÷ 2048     		x = 0.75390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 520 ÷ 211
    520 ÷ 2048     		y = 0.25390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75390625 × 2 - 1) × π
    0.5078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59534002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25390625 × 2 - 1) × π
    0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59534002} λ = 1.59534002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54625263414453))-π/2
    2×atan(4.69384761981689)-π/2
    2×1.36088969467217-π/2
    2.72177938934434-1.57079632675     		φ = 1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59534002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1544 KachelY 520 1.59534002 1.15098306 91.406250 65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 1545 KachelY 520 1.59840798 1.15098306 91.582031 65.946472
    Unten links KachelX 1544 KachelY + 1 521 1.59534002 1.14973084 91.406250 65.874725
    Unten rechts KachelX + 1 1545 KachelY + 1 521 1.59840798 1.14973084 91.582031 65.874725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15098306-1.14973084) × R
    0.00125222000000003 × 6371000     		dl = 7977.89362000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15098306-1.14973084) × R
    0.00125222000000003 × 6371000     		dr = 7977.89362000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59534002-1.59840798) × cos(1.15098306) × R
    0.00306795999999987 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 7966.74206519142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59534002-1.59840798) × cos(1.14973084) × R
    0.00306795999999987 × 0.408733105626485 × 6371000     		du = 7989.08631217838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15098306)-sin(1.14973084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.408733105626485)×R²
    abs(1.59840798-1.59534002)×0.00114316369945167×R²
    0.00306795999999987×0.00114316369945167×6371000²
    0.00306795999999987×0.00114316369945167×40589641000000     		ar = 63646959.0236369m²