Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1546 / 2570
↖ ↑ ↗
← S 41.640078°
W 44.121094°		 ← 7 303.73 m → S 41.640078°
W 44.033203°		 →
↑
7 299.96 m
↓
↑
7 299.96 m
↓
S 41.705729°
W 44.121094°		 ← 7 296.28 m →
53 289 718 m²		 S 41.705729°
W 44.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3775634765625 y=0.6275634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3775634765625 × 212)
    floor (0.3775634765625 × 4096)
    floor (1546.5)     		tx = 1546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6275634765625 × 212)
    floor (0.6275634765625 × 4096)
    floor (2570.5)     		ty = 2570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1546 / 2570 ti = "12/1546/2570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1546/2570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1546 ÷ 212
    1546 ÷ 4096     		x = 0.37744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2570 ÷ 212
    2570 ÷ 4096     		y = 0.62744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37744140625 × 2 - 1) × π
    -0.2451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77005836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    -0.2548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.800737971253418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77005836} λ = -0.77005836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800737971253418))-π/2
    2×atan(0.448997494580913)-π/2
    2×0.422019929105416-π/2
    0.844039858210832-1.57079632675     		φ = -0.72675647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77005836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.121094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72675647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.640078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1546 KachelY 2570 -0.77005836 -0.72675647 -44.121094 -41.640078
    Oben rechts KachelX + 1 1547 KachelY 2570 -0.76852437 -0.72675647 -44.033203 -41.640078
    Unten links KachelX 1546 KachelY + 1 2571 -0.77005836 -0.72790228 -44.121094 -41.705729
    Unten rechts KachelX + 1 1547 KachelY + 1 2571 -0.76852437 -0.72790228 -44.033203 -41.705729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72675647--0.72790228) × R
    0.00114581000000002 × 6371000     		dl = 7299.95551000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72675647--0.72790228) × R
    0.00114581000000002 × 6371000     		dr = 7299.95551000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77005836--0.76852437) × cos(-0.72675647) × R
    0.0015339900000001 × 0.747333490424122 × 6371000     		do = 7303.72778531664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77005836--0.76852437) × cos(-0.72790228) × R
    0.0015339900000001 × 0.746571667546648 × 6371000     		du = 7296.28245202301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72675647)-sin(-0.72790228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747333490424122-0.746571667546648)×R²
    abs(-0.76852437--0.77005836)×0.000761822877473506×R²
    0.0015339900000001×0.000761822877473506×6371000²
    0.0015339900000001×0.000761822877473506×40589641000000     		ar = 53289718.4193117m²