Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1548 / 2556
↖ ↑ ↗
← S 40.713956°
W 43.945312°		 ← 7 407.68 m → S 40.713956°
W 43.857422°		 →
↑
7 403.99 m
↓
↑
7 403.99 m
↓
S 40.780542°
W 43.945312°		 ← 7 400.27 m →
54 819 011 m²		 S 40.780542°
W 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3780517578125 y=0.6241455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3780517578125 × 212)
    floor (0.3780517578125 × 4096)
    floor (1548.5)     		tx = 1548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6241455078125 × 212)
    floor (0.6241455078125 × 4096)
    floor (2556.5)     		ty = 2556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1548 / 2556 ti = "12/1548/2556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1548/2556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1548 ÷ 212
    1548 ÷ 4096     		x = 0.3779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2556 ÷ 212
    2556 ÷ 4096     		y = 0.6240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3779296875 × 2 - 1) × π
    -0.244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76699039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6240234375 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.779262240223633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76699039} λ = -0.76699039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779262240223633))-π/2
    2×atan(0.458744329605081)-π/2
    2×0.430101873065779-π/2
    0.860203746131559-1.57079632675     		φ = -0.71059258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76699039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71059258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.713956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1548 KachelY 2556 -0.76699039 -0.71059258 -43.945312 -40.713956
    Oben rechts KachelX + 1 1549 KachelY 2556 -0.76545641 -0.71059258 -43.857422 -40.713956
    Unten links KachelX 1548 KachelY + 1 2557 -0.76699039 -0.71175472 -43.945312 -40.780542
    Unten rechts KachelX + 1 1549 KachelY + 1 2557 -0.76545641 -0.71175472 -43.857422 -40.780542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71059258--0.71175472) × R
    0.00116213999999992 × 6371000     		dl = 7403.99393999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71059258--0.71175472) × R
    0.00116213999999992 × 6371000     		dr = 7403.99393999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76699039--0.76545641) × cos(-0.71059258) × R
    0.00153398000000005 × 0.757975479207299 × 6371000     		do = 7407.68418626223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76699039--0.76545641) × cos(-0.71175472) × R
    0.00153398000000005 × 0.757216923308942 × 6371000     		du = 7400.2708296474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71059258)-sin(-0.71175472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757975479207299-0.757216923308942)×R²
    abs(-0.76545641--0.76699039)×0.00075855589835705×R²
    0.00153398000000005×0.00075855589835705×6371000²
    0.00153398000000005×0.00075855589835705×40589641000000     		ar = 54819010.7705308m²