Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1548 / 3580
↖ ↑ ↗
← S 79.105086°
W 43.945312°		 ← 1 847.18 m → S 79.105086°
W 43.857422°		 →
↑
1 845.81 m
↓
↑
1 845.81 m
↓
S 79.121686°
W 43.945312°		 ← 1 844.39 m →
3 406 961 m²		 S 79.121686°
W 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3780517578125 y=0.8741455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3780517578125 × 212)
    floor (0.3780517578125 × 4096)
    floor (1548.5)     		tx = 1548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8741455078125 × 212)
    floor (0.8741455078125 × 4096)
    floor (3580.5)     		ty = 3580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1548 / 3580 ti = "12/1548/3580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1548/3580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1548 ÷ 212
    1548 ÷ 4096     		x = 0.3779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3580 ÷ 212
    3580 ÷ 4096     		y = 0.8740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3779296875 × 2 - 1) × π
    -0.244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76699039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8740234375 × 2 - 1) × π
    -0.748046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.35005856697363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76699039} λ = -0.76699039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35005856697363))-π/2
    2×atan(0.0953635768959)-π/2
    2×0.0950760586021759-π/2
    0.190152117204352-1.57079632675     		φ = -1.38064421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76699039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38064421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.105086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1548 KachelY 3580 -0.76699039 -1.38064421 -43.945312 -79.105086
    Oben rechts KachelX + 1 1549 KachelY 3580 -0.76545641 -1.38064421 -43.857422 -79.105086
    Unten links KachelX 1548 KachelY + 1 3581 -0.76699039 -1.38093393 -43.945312 -79.121686
    Unten rechts KachelX + 1 1549 KachelY + 1 3581 -0.76545641 -1.38093393 -43.857422 -79.121686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38064421--1.38093393) × R
    0.000289720000000049 × 6371000     		dl = 1845.80612000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38064421--1.38093393) × R
    0.000289720000000049 × 6371000     		dr = 1845.80612000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76699039--0.76545641) × cos(-1.38064421) × R
    0.00153398000000005 × 0.189008272127693 × 6371000     		do = 1847.17530701299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76699039--0.76545641) × cos(-1.38093393) × R
    0.00153398000000005 × 0.188723766258762 × 6371000     		du = 1844.39483497399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38064421)-sin(-1.38093393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189008272127693-0.188723766258762)×R²
    abs(-0.76545641--0.76699039)×0.000284505868931445×R²
    0.00153398000000005×0.000284505868931445×6371000²
    0.00153398000000005×0.000284505868931445×40589641000000     		ar = 3406961.40407333m²