Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1551 / 2545
↖ ↑ ↗
← S 39.977120°
W 43.681641°		 ← 7 489.05 m → S 39.977120°
W 43.593750°		 →
↑
7 485.35 m
↓
↑
7 485.35 m
↓
S 40.044437°
W 43.681641°		 ← 7 481.67 m →
56 030 549 m²		 S 40.044437°
W 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3787841796875 y=0.6214599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3787841796875 × 212)
    floor (0.3787841796875 × 4096)
    floor (1551.5)     		tx = 1551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6214599609375 × 212)
    floor (0.6214599609375 × 4096)
    floor (2545.5)     		ty = 2545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1551 / 2545 ti = "12/1551/2545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1551/2545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1551 ÷ 212
    1551 ÷ 4096     		x = 0.378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2545 ÷ 212
    2545 ÷ 4096     		y = 0.621337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.24267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76238845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621337890625 × 2 - 1) × π
    -0.24267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.762388451557373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76238845} λ = -0.76238845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762388451557373))-π/2
    2×atan(0.466550761291126)-π/2
    2×0.436531977814312-π/2
    0.873063955628623-1.57079632675     		φ = -0.69773237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76238845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69773237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.977120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1551 KachelY 2545 -0.76238845 -0.69773237 -43.681641 -39.977120
    Oben rechts KachelX + 1 1552 KachelY 2545 -0.76085447 -0.69773237 -43.593750 -39.977120
    Unten links KachelX 1551 KachelY + 1 2546 -0.76238845 -0.69890728 -43.681641 -40.044437
    Unten rechts KachelX + 1 1552 KachelY + 1 2546 -0.76085447 -0.69890728 -43.593750 -40.044437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69773237--0.69890728) × R
    0.00117491000000003 × 6371000     		dl = 7485.35161000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69773237--0.69890728) × R
    0.00117491000000003 × 6371000     		dr = 7485.35161000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76238845--0.76085447) × cos(-0.69773237) × R
    0.00153398000000005 × 0.766301066922434 × 6371000     		do = 7489.05004327285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76238845--0.76085447) × cos(-0.69890728) × R
    0.00153398000000005 × 0.765545680070707 × 6371000     		du = 7481.66765770822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69773237)-sin(-0.69890728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766301066922434-0.765545680070707)×R²
    abs(-0.76085447--0.76238845)×0.000755386851726492×R²
    0.00153398000000005×0.000755386851726492×6371000²
    0.00153398000000005×0.000755386851726492×40589641000000     		ar = 56030549.3683917m²