Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1551 / 2576
↖ ↑ ↗
← S 42.032975°
W 43.681641°		 ← 7 258.98 m → S 42.032975°
W 43.593750°		 →
↑
7 255.23 m
↓
↑
7 255.23 m
↓
S 42.098222°
W 43.681641°		 ← 7 251.52 m →
52 638 532 m²		 S 42.098222°
W 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3787841796875 y=0.6290283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3787841796875 × 212)
    floor (0.3787841796875 × 4096)
    floor (1551.5)     		tx = 1551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6290283203125 × 212)
    floor (0.6290283203125 × 4096)
    floor (2576.5)     		ty = 2576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1551 / 2576 ti = "12/1551/2576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1551/2576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1551 ÷ 212
    1551 ÷ 4096     		x = 0.378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2576 ÷ 212
    2576 ÷ 4096     		y = 0.62890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.24267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76238845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62890625 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.809941855980469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76238845} λ = -0.76238845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809941855980469))-π/2
    2×atan(0.444883932811019)-π/2
    2×0.418591265152362-π/2
    0.837182530304723-1.57079632675     		φ = -0.73361380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76238845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73361380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.032975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1551 KachelY 2576 -0.76238845 -0.73361380 -43.681641 -42.032975
    Oben rechts KachelX + 1 1552 KachelY 2576 -0.76085447 -0.73361380 -43.593750 -42.032975
    Unten links KachelX 1551 KachelY + 1 2577 -0.76238845 -0.73475259 -43.681641 -42.098222
    Unten rechts KachelX + 1 1552 KachelY + 1 2577 -0.76085447 -0.73475259 -43.593750 -42.098222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73361380--0.73475259) × R
    0.00113879000000006 × 6371000     		dl = 7255.23109000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73361380--0.73475259) × R
    0.00113879000000006 × 6371000     		dr = 7255.23109000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76238845--0.76085447) × cos(-0.73361380) × R
    0.00153398000000005 × 0.74275960828728 × 6371000     		do = 7258.97968395787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76238845--0.76085447) × cos(-0.73475259) × R
    0.00153398000000005 × 0.741996640664448 × 6371000     		du = 7251.52321161895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73361380)-sin(-0.73475259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74275960828728-0.741996640664448)×R²
    abs(-0.76085447--0.76238845)×0.000762967622832122×R²
    0.00153398000000005×0.000762967622832122×6371000²
    0.00153398000000005×0.000762967622832122×40589641000000     		ar = 52638531.5584255m²