Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1551 / 2607
↖ ↑ ↗
← S 44.024422°
W 43.681641°		 ← 7 027.20 m → S 44.024422°
W 43.593750°		 →
↑
7 023.45 m
↓
↑
7 023.45 m
↓
S 44.087585°
W 43.681641°		 ← 7 019.71 m →
49 328 940 m²		 S 44.087585°
W 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3787841796875 y=0.6365966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3787841796875 × 212)
    floor (0.3787841796875 × 4096)
    floor (1551.5)     		tx = 1551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6365966796875 × 212)
    floor (0.6365966796875 × 4096)
    floor (2607.5)     		ty = 2607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1551 / 2607 ti = "12/1551/2607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1551/2607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1551 ÷ 212
    1551 ÷ 4096     		x = 0.378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2607 ÷ 212
    2607 ÷ 4096     		y = 0.636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.24267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76238845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636474609375 × 2 - 1) × π
    -0.27294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.857495260403564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76238845} λ = -0.76238845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857495260403564))-π/2
    2×atan(0.424223321650302)-π/2
    2×0.401212610004309-π/2
    0.802425220008619-1.57079632675     		φ = -0.76837111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76238845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76837111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.024422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1551 KachelY 2607 -0.76238845 -0.76837111 -43.681641 -44.024422
    Oben rechts KachelX + 1 1552 KachelY 2607 -0.76085447 -0.76837111 -43.593750 -44.024422
    Unten links KachelX 1551 KachelY + 1 2608 -0.76238845 -0.76947352 -43.681641 -44.087585
    Unten rechts KachelX + 1 1552 KachelY + 1 2608 -0.76085447 -0.76947352 -43.593750 -44.087585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76837111--0.76947352) × R
    0.00110241 × 6371000     		dl = 7023.45410999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76837111--0.76947352) × R
    0.00110241 × 6371000     		dr = 7023.45410999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76238845--0.76085447) × cos(-0.76837111) × R
    0.00153398000000005 × 0.719043644428608 × 6371000     		do = 7027.20388743528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76238845--0.76085447) × cos(-0.76947352) × R
    0.00153398000000005 × 0.71827707137878 × 6371000     		du = 7019.71217930673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76837111)-sin(-0.76947352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719043644428608-0.71827707137878)×R²
    abs(-0.76085447--0.76238845)×0.000766573049827746×R²
    0.00153398000000005×0.000766573049827746×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766573049827746×40589641000000     		ar = 49328940.1867127m²