Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1552 / 2575
↖ ↑ ↗
← S 41.967659°
W 43.593750°		 ← 7 266.43 m → S 41.967659°
W 43.505859°		 →
↑
7 262.75 m
↓
↑
7 262.75 m
↓
S 42.032975°
W 43.593750°		 ← 7 258.98 m →
52 747 223 m²		 S 42.032975°
W 43.505859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3790283203125 y=0.6287841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3790283203125 × 212)
    floor (0.3790283203125 × 4096)
    floor (1552.5)     		tx = 1552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6287841796875 × 212)
    floor (0.6287841796875 × 4096)
    floor (2575.5)     		ty = 2575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1552 / 2575 ti = "12/1552/2575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1552/2575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1552 ÷ 212
    1552 ÷ 4096     		x = 0.37890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2575 ÷ 212
    2575 ÷ 4096     		y = 0.628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37890625 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628662109375 × 2 - 1) × π
    -0.25732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.808407875192627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76085447} λ = -0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808407875192627))-π/2
    2×atan(0.445566899912052)-π/2
    2×0.419161247176495-π/2
    0.838322494352991-1.57079632675     		φ = -0.73247383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73247383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.967659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1552 KachelY 2575 -0.76085447 -0.73247383 -43.593750 -41.967659
    Oben rechts KachelX + 1 1553 KachelY 2575 -0.75932049 -0.73247383 -43.505859 -41.967659
    Unten links KachelX 1552 KachelY + 1 2576 -0.76085447 -0.73361380 -43.593750 -42.032975
    Unten rechts KachelX + 1 1553 KachelY + 1 2576 -0.75932049 -0.73361380 -43.505859 -42.032975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73247383--0.73361380) × R
    0.00113996999999999 × 6371000     		dl = 7262.74886999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73247383--0.73361380) × R
    0.00113996999999999 × 6371000     		dr = 7262.74886999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76085447--0.75932049) × cos(-0.73247383) × R
    0.00153397999999993 × 0.743522401747397 × 6371000     		do = 7266.43445420637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76085447--0.75932049) × cos(-0.73361380) × R
    0.00153397999999993 × 0.74275960828728 × 6371000     		du = 7258.97968395734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73247383)-sin(-0.73361380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743522401747397-0.74275960828728)×R²
    abs(-0.75932049--0.76085447)×0.000762793460116873×R²
    0.00153397999999993×0.000762793460116873×6371000²
    0.00153397999999993×0.000762793460116873×40589641000000     		ar = 52747223.2713372m²