Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1552 / 3600
↖ ↑ ↗
← S 79.432371°
W 43.593750°		 ← 1 792.33 m → S 79.432371°
W 43.505859°		 →
↑
1 791.02 m
↓
↑
1 791.02 m
↓
S 79.448478°
W 43.593750°		 ← 1 789.63 m →
3 207 666 m²		 S 79.448478°
W 43.505859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3790283203125 y=0.8790283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3790283203125 × 212)
    floor (0.3790283203125 × 4096)
    floor (1552.5)     		tx = 1552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8790283203125 × 212)
    floor (0.8790283203125 × 4096)
    floor (3600.5)     		ty = 3600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1552 / 3600 ti = "12/1552/3600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1552/3600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1552 ÷ 212
    1552 ÷ 4096     		x = 0.37890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3600 ÷ 212
    3600 ÷ 4096     		y = 0.87890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37890625 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87890625 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76085447} λ = -0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38073818273047))-π/2
    2×atan(0.0924822834821675)-π/2
    2×0.0922199621976958-π/2
    0.184439924395392-1.57079632675     		φ = -1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1552 KachelY 3600 -0.76085447 -1.38635640 -43.593750 -79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 1553 KachelY 3600 -0.75932049 -1.38635640 -43.505859 -79.432371
    Unten links KachelX 1552 KachelY + 1 3601 -0.76085447 -1.38663752 -43.593750 -79.448478
    Unten rechts KachelX + 1 1553 KachelY + 1 3601 -0.75932049 -1.38663752 -43.505859 -79.448478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38635640--1.38663752) × R
    0.000281120000000135 × 6371000     		dl = 1791.01552000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38635640--1.38663752) × R
    0.000281120000000135 × 6371000     		dr = 1791.01552000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76085447--0.75932049) × cos(-1.38635640) × R
    0.00153397999999993 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 1792.3265339492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76085447--0.75932049) × cos(-1.38663752) × R
    0.00153397999999993 × 0.183119629249642 × 6371000     		du = 1789.62567919125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38635640)-sin(-1.38663752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.183119629249642)×R²
    abs(-0.75932049--0.76085447)×0.000276359200520992×R²
    0.00153397999999993×0.000276359200520992×6371000²
    0.00153397999999993×0.000276359200520992×40589641000000     		ar = 3207666.02394333m²