Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1553 / 1553
↖ ↑ ↗
← S 67.676085°
E 92.988281°		 ← 7 424.41 m → S 67.676085°
E 93.164063°		 →
↑
7 413.87 m
↓
↑
7 413.87 m
↓
S 67.742759°
E 92.988281°		 ← 7 403.37 m →
54 965 608 m²		 S 67.742759°
E 93.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758544921875 y=0.758544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758544921875 × 211)
    floor (0.758544921875 × 2048)
    floor (1553.5)     		tx = 1553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758544921875 × 211)
    floor (0.758544921875 × 2048)
    floor (1553.5)     		ty = 1553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1553 / 1553 ti = "11/1553/1553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1553/1553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1553 ÷ 211
    1553 ÷ 2048     		x = 0.75830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1553 ÷ 211
    1553 ÷ 2048     		y = 0.75830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75830078125 × 2 - 1) × π
    0.5166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.62295167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75830078125 × 2 - 1) × π
    -0.5166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62295167353662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62295167} λ = 1.62295167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62295167353662))-π/2
    2×atan(0.197315427967031)-π/2
    2×0.194812912999389-π/2
    0.389625825998778-1.57079632675     		φ = -1.18117050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62295167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18117050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.676085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1553 KachelY 1553 1.62295167 -1.18117050 92.988281 -67.676085
    Oben rechts KachelX + 1 1554 KachelY 1553 1.62601964 -1.18117050 93.164063 -67.676085
    Unten links KachelX 1553 KachelY + 1 1554 1.62295167 -1.18233419 92.988281 -67.742759
    Unten rechts KachelX + 1 1554 KachelY + 1 1554 1.62601964 -1.18233419 93.164063 -67.742759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18117050--1.18233419) × R
    0.00116369000000005 × 6371000     		dl = 7413.86899000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18117050--1.18233419) × R
    0.00116369000000005 × 6371000     		dr = 7413.86899000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62295167-1.62601964) × cos(-1.18117050) × R
    0.00306797000000003 × 0.37984231232963 × 6371000     		do = 7424.41184158108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62295167-1.62601964) × cos(-1.18233419) × R
    0.00306797000000003 × 0.378765582495472 × 6371000     		du = 7403.3660405436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18117050)-sin(-1.18233419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37984231232963-0.378765582495472)×R²
    abs(1.62601964-1.62295167)×0.00107672983415791×R²
    0.00306797000000003×0.00107672983415791×6371000²
    0.00306797000000003×0.00107672983415791×40589641000000     		ar = 54965607.518207m²