Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1553 / 2579
↖ ↑ ↗
← S 42.228518°
W 43.505859°		 ← 7 236.61 m → S 42.228518°
W 43.417969°		 →
↑
7 232.87 m
↓
↑
7 232.87 m
↓
S 42.293564°
W 43.505859°		 ← 7 229.14 m →
52 314 437 m²		 S 42.293564°
W 43.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3792724609375 y=0.6297607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3792724609375 × 212)
    floor (0.3792724609375 × 4096)
    floor (1553.5)     		tx = 1553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6297607421875 × 212)
    floor (0.6297607421875 × 4096)
    floor (2579.5)     		ty = 2579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1553 / 2579 ti = "12/1553/2579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1553/2579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1553 ÷ 212
    1553 ÷ 4096     		x = 0.379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2579 ÷ 212
    2579 ÷ 4096     		y = 0.629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.24169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75932049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.25927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.814543798343994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75932049} λ = -0.75932049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814543798343994))-π/2
    2×atan(0.442841306223549)-π/2
    2×0.416884830355363-π/2
    0.833769660710726-1.57079632675     		φ = -0.73702667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75932049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.505859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73702667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.228518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1553 KachelY 2579 -0.75932049 -0.73702667 -43.505859 -42.228518
    Oben rechts KachelX + 1 1554 KachelY 2579 -0.75778651 -0.73702667 -43.417969 -42.228518
    Unten links KachelX 1553 KachelY + 1 2580 -0.75932049 -0.73816195 -43.505859 -42.293564
    Unten rechts KachelX + 1 1554 KachelY + 1 2580 -0.75778651 -0.73816195 -43.417969 -42.293564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73702667--0.73816195) × R
    0.00113527999999996 × 6371000     		dl = 7232.86887999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73702667--0.73816195) × R
    0.00113527999999996 × 6371000     		dr = 7232.86887999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75932049--0.75778651) × cos(-0.73702667) × R
    0.00153398000000005 × 0.74047017196791 × 6371000     		do = 7236.60505353289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75932049--0.75778651) × cos(-0.73816195) × R
    0.00153398000000005 × 0.739706685496696 × 6371000     		du = 7229.14351049571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73702667)-sin(-0.73816195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74047017196791-0.739706685496696)×R²
    abs(-0.75778651--0.75932049)×0.000763486471214048×R²
    0.00153398000000005×0.000763486471214048×6371000²
    0.00153398000000005×0.000763486471214048×40589641000000     		ar = 52314436.9261677m²