Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1553 / 2607
↖ ↑ ↗
← S 44.024422°
W 43.505859°		 ← 7 027.20 m → S 44.024422°
W 43.417969°		 →
↑
7 023.45 m
↓
↑
7 023.45 m
↓
S 44.087585°
W 43.505859°		 ← 7 019.71 m →
49 328 940 m²		 S 44.087585°
W 43.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3792724609375 y=0.6365966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3792724609375 × 212)
    floor (0.3792724609375 × 4096)
    floor (1553.5)     		tx = 1553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6365966796875 × 212)
    floor (0.6365966796875 × 4096)
    floor (2607.5)     		ty = 2607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1553 / 2607 ti = "12/1553/2607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1553/2607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1553 ÷ 212
    1553 ÷ 4096     		x = 0.379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2607 ÷ 212
    2607 ÷ 4096     		y = 0.636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.24169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75932049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636474609375 × 2 - 1) × π
    -0.27294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.857495260403564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75932049} λ = -0.75932049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857495260403564))-π/2
    2×atan(0.424223321650302)-π/2
    2×0.401212610004309-π/2
    0.802425220008619-1.57079632675     		φ = -0.76837111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75932049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.505859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76837111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.024422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1553 KachelY 2607 -0.75932049 -0.76837111 -43.505859 -44.024422
    Oben rechts KachelX + 1 1554 KachelY 2607 -0.75778651 -0.76837111 -43.417969 -44.024422
    Unten links KachelX 1553 KachelY + 1 2608 -0.75932049 -0.76947352 -43.505859 -44.087585
    Unten rechts KachelX + 1 1554 KachelY + 1 2608 -0.75778651 -0.76947352 -43.417969 -44.087585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76837111--0.76947352) × R
    0.00110241 × 6371000     		dl = 7023.45410999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76837111--0.76947352) × R
    0.00110241 × 6371000     		dr = 7023.45410999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75932049--0.75778651) × cos(-0.76837111) × R
    0.00153398000000005 × 0.719043644428608 × 6371000     		do = 7027.20388743528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75932049--0.75778651) × cos(-0.76947352) × R
    0.00153398000000005 × 0.71827707137878 × 6371000     		du = 7019.71217930673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76837111)-sin(-0.76947352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719043644428608-0.71827707137878)×R²
    abs(-0.75778651--0.75932049)×0.000766573049827746×R²
    0.00153398000000005×0.000766573049827746×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766573049827746×40589641000000     		ar = 49328940.1867127m²