Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1553 / 527
↖ ↑ ↗
← N 65.440002°
E 92.988281°		 ← 8 124.23 m → N 65.440002°
E 93.164063°		 →
↑
8 135.51 m
↓
↑
8 135.51 m
↓
N 65.366837°
E 92.988281°		 ← 8 146.92 m →
66 187 098 m²		 N 65.366837°
E 93.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758544921875 y=0.257568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758544921875 × 211)
    floor (0.758544921875 × 2048)
    floor (1553.5)     		tx = 1553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257568359375 × 211)
    floor (0.257568359375 × 2048)
    floor (527.5)     		ty = 527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1553 / 527 ti = "11/1553/527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1553/527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1553 ÷ 211
    1553 ÷ 2048     		x = 0.75830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 527 ÷ 211
    527 ÷ 2048     		y = 0.25732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75830078125 × 2 - 1) × π
    0.5166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.62295167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25732421875 × 2 - 1) × π
    0.4853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52477690311475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62295167} λ = 1.62295167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52477690311475))-π/2
    2×atan(4.59411852143583)-π/2
    2×1.35646990912416-π/2
    2.71293981824832-1.57079632675     		φ = 1.14214349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62295167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14214349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.440002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1553 KachelY 527 1.62295167 1.14214349 92.988281 65.440002
    Oben rechts KachelX + 1 1554 KachelY 527 1.62601964 1.14214349 93.164063 65.440002
    Unten links KachelX 1553 KachelY + 1 528 1.62295167 1.14086653 92.988281 65.366837
    Unten rechts KachelX + 1 1554 KachelY + 1 528 1.62601964 1.14086653 93.164063 65.366837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14214349-1.14086653) × R
    0.00127695999999999 × 6371000     		dl = 8135.51215999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14214349-1.14086653) × R
    0.00127695999999999 × 6371000     		dr = 8135.51215999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62295167-1.62601964) × cos(1.14214349) × R
    0.00306797000000003 × 0.415645899308277 × 6371000     		do = 8124.23007274398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62295167-1.62601964) × cos(1.14086653) × R
    0.00306797000000003 × 0.416806989093035 × 6371000     		du = 8146.92477648623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14214349)-sin(1.14086653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415645899308277-0.416806989093035)×R²
    abs(1.62601964-1.62295167)×0.00116108978475749×R²
    0.00306797000000003×0.00116108978475749×6371000²
    0.00306797000000003×0.00116108978475749×40589641000000     		ar = 66187098.0604597m²