Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1554 / 3602
↖ ↑ ↗
← S 79.464560°
W 43.417969°		 ← 1 786.93 m → S 79.464560°
W 43.330078°		 →
↑
1 785.54 m
↓
↑
1 785.54 m
↓
S 79.480618°
W 43.417969°		 ← 1 784.24 m →
3 188 222 m²		 S 79.480618°
W 43.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3795166015625 y=0.8795166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3795166015625 × 212)
    floor (0.3795166015625 × 4096)
    floor (1554.5)     		tx = 1554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8795166015625 × 212)
    floor (0.8795166015625 × 4096)
    floor (3602.5)     		ty = 3602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1554 / 3602 ti = "12/1554/3602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1554/3602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1554 ÷ 212
    1554 ÷ 4096     		x = 0.37939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3602 ÷ 212
    3602 ÷ 4096     		y = 0.87939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75778651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87939453125 × 2 - 1) × π
    -0.7587890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38380614430615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75778651} λ = -0.75778651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38380614430615))-π/2
    2×atan(0.0921989861848328)-π/2
    2×0.0919390600962043-π/2
    0.183878120192409-1.57079632675     		φ = -1.38691821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75778651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38691821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.464560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1554 KachelY 3602 -0.75778651 -1.38691821 -43.417969 -79.464560
    Oben rechts KachelX + 1 1555 KachelY 3602 -0.75625253 -1.38691821 -43.330078 -79.464560
    Unten links KachelX 1554 KachelY + 1 3603 -0.75778651 -1.38719847 -43.417969 -79.480618
    Unten rechts KachelX + 1 1555 KachelY + 1 3603 -0.75625253 -1.38719847 -43.330078 -79.480618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38691821--1.38719847) × R
    0.000280260000000032 × 6371000     		dl = 1785.5364600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38691821--1.38719847) × R
    0.000280260000000032 × 6371000     		dr = 1785.5364600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75778651--0.75625253) × cos(-1.38691821) × R
    0.00153397999999993 × 0.182843678328536 × 6371000     		do = 1786.92881454254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75778651--0.75625253) × cos(-1.38719847) × R
    0.00153397999999993 × 0.182568135774842 × 6371000     		du = 1784.23594086308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38691821)-sin(-1.38719847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182843678328536-0.182568135774842)×R²
    abs(-0.75625253--0.75778651)×0.00027554255369347×R²
    0.00153397999999993×0.00027554255369347×6371000²
    0.00153397999999993×0.00027554255369347×40589641000000     		ar = 3188222.45859306m²