Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1555 / 2581
↖ ↑ ↗
← S 42.358544°
W 43.330078°		 ← 7 221.68 m → S 42.358544°
W 43.242188°		 →
↑
7 217.96 m
↓
↑
7 217.96 m
↓
S 42.423457°
W 43.330078°		 ← 7 214.22 m →
52 098 871 m²		 S 42.423457°
W 43.242188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3797607421875 y=0.6302490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3797607421875 × 212)
    floor (0.3797607421875 × 4096)
    floor (1555.5)     		tx = 1555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6302490234375 × 212)
    floor (0.6302490234375 × 4096)
    floor (2581.5)     		ty = 2581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1555 / 2581 ti = "12/1555/2581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1555/2581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1555 ÷ 212
    1555 ÷ 4096     		x = 0.379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2581 ÷ 212
    2581 ÷ 4096     		y = 0.630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.24072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75625253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.26025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.817611759919678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75625253} λ = -0.75625253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817611759919678))-π/2
    2×atan(0.441484768079403)-π/2
    2×0.415750134550612-π/2
    0.831500269101224-1.57079632675     		φ = -0.73929606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75625253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73929606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.358544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1555 KachelY 2581 -0.75625253 -0.73929606 -43.330078 -42.358544
    Oben rechts KachelX + 1 1556 KachelY 2581 -0.75471855 -0.73929606 -43.242188 -42.358544
    Unten links KachelX 1555 KachelY + 1 2582 -0.75625253 -0.74042900 -43.330078 -42.423457
    Unten rechts KachelX + 1 1556 KachelY + 1 2582 -0.75471855 -0.74042900 -43.242188 -42.423457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73929606--0.74042900) × R
    0.00113293999999997 × 6371000     		dl = 7217.96073999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73929606--0.74042900) × R
    0.00113293999999997 × 6371000     		dr = 7217.96073999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75625253--0.75471855) × cos(-0.73929606) × R
    0.00153398000000005 × 0.738943033955681 × 6371000     		do = 7221.68035423357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75625253--0.75471855) × cos(-0.74042900) × R
    0.00153398000000005 × 0.738179221270127 × 6371000     		du = 7214.21562310802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73929606)-sin(-0.74042900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738943033955681-0.738179221270127)×R²
    abs(-0.75471855--0.75625253)×0.000763812685553256×R²
    0.00153398000000005×0.000763812685553256×6371000²
    0.00153398000000005×0.000763812685553256×40589641000000     		ar = 52098870.7782279m²