Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1556 / 1556
↖ ↑ ↗
← N 39.639537°
W 43.242188°		 ← 7 525.92 m → N 39.639537°
W 43.154297°		 →
↑
7 529.57 m
↓
↑
7 529.57 m
↓
N 39.571822°
W 43.242188°		 ← 7 533.28 m →
56 694 604 m²		 N 39.571822°
W 43.154297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3800048828125 y=0.3800048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3800048828125 × 212)
    floor (0.3800048828125 × 4096)
    floor (1556.5)     		tx = 1556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3800048828125 × 212)
    floor (0.3800048828125 × 4096)
    floor (1556.5)     		ty = 1556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1556 / 1556 ti = "12/1556/1556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1556/1556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1556 ÷ 212
    1556 ÷ 4096     		x = 0.3798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1556 ÷ 212
    1556 ÷ 4096     		y = 0.3798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75471855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    0.240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.754718547618164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75471855} λ = -0.75471855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.754718547618164))-π/2
    2×atan(2.12701278628637)-π/2
    2×1.13131838562223-π/2
    2.26263677124446-1.57079632675     		φ = 0.69184044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75471855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.242188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69184044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.639537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1556 KachelY 1556 -0.75471855 0.69184044 -43.242188 39.639537
    Oben rechts KachelX + 1 1557 KachelY 1556 -0.75318457 0.69184044 -43.154297 39.639537
    Unten links KachelX 1556 KachelY + 1 1557 -0.75471855 0.69065859 -43.242188 39.571822
    Unten rechts KachelX + 1 1557 KachelY + 1 1557 -0.75318457 0.69065859 -43.154297 39.571822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69184044-0.69065859) × R
    0.00118185000000004 × 6371000     		dl = 7529.56635000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69184044-0.69065859) × R
    0.00118185000000004 × 6371000     		dr = 7529.56635000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75471855--0.75318457) × cos(0.69184044) × R
    0.00153397999999993 × 0.770073200977456 × 6371000     		do = 7525.91505877001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75471855--0.75318457) × cos(0.69065859) × R
    0.00153397999999993 × 0.770826630744151 × 6371000     		du = 7533.27831776889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69184044)-sin(0.69065859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770073200977456-0.770826630744151)×R²
    abs(-0.75318457--0.75471855)×0.000753429766694791×R²
    0.00153397999999993×0.000753429766694791×6371000²
    0.00153397999999993×0.000753429766694791×40589641000000     		ar = 56694604.4521755m²