Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1556 / 2580
↖ ↑ ↗
← S 42.293564°
W 43.242188°		 ← 7 229.14 m → S 42.293564°
W 43.154297°		 →
↑
7 225.41 m
↓
↑
7 225.41 m
↓
S 42.358544°
W 43.242188°		 ← 7 221.68 m →
52 206 604 m²		 S 42.358544°
W 43.154297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3800048828125 y=0.6300048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3800048828125 × 212)
    floor (0.3800048828125 × 4096)
    floor (1556.5)     		tx = 1556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6300048828125 × 212)
    floor (0.6300048828125 × 4096)
    floor (2580.5)     		ty = 2580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1556 / 2580 ti = "12/1556/2580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1556/2580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1556 ÷ 212
    1556 ÷ 4096     		x = 0.3798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2580 ÷ 212
    2580 ÷ 4096     		y = 0.6298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75471855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6298828125 × 2 - 1) × π
    -0.259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.816077779131836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75471855} λ = -0.75471855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816077779131836))-π/2
    2×atan(0.442162516925715)-π/2
    2×0.416317189627603-π/2
    0.832634379255207-1.57079632675     		φ = -0.73816195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75471855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.242188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73816195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.293564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1556 KachelY 2580 -0.75471855 -0.73816195 -43.242188 -42.293564
    Oben rechts KachelX + 1 1557 KachelY 2580 -0.75318457 -0.73816195 -43.154297 -42.293564
    Unten links KachelX 1556 KachelY + 1 2581 -0.75471855 -0.73929606 -43.242188 -42.358544
    Unten rechts KachelX + 1 1557 KachelY + 1 2581 -0.75318457 -0.73929606 -43.154297 -42.358544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73816195--0.73929606) × R
    0.00113411000000008 × 6371000     		dl = 7225.41481000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73816195--0.73929606) × R
    0.00113411000000008 × 6371000     		dr = 7225.41481000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75471855--0.75318457) × cos(-0.73816195) × R
    0.00153397999999993 × 0.739706685496696 × 6371000     		do = 7229.14351049518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75471855--0.75318457) × cos(-0.73929606) × R
    0.00153397999999993 × 0.738943033955681 × 6371000     		du = 7221.68035423304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73816195)-sin(-0.73929606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739706685496696-0.738943033955681)×R²
    abs(-0.75318457--0.75471855)×0.00076365154101532×R²
    0.00153397999999993×0.00076365154101532×6371000²
    0.00153397999999993×0.00076365154101532×40589641000000     		ar = 52206603.9801551m²