Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1558 / 2574
↖ ↑ ↗
← S 41.902277°
W 43.066406°		 ← 7 273.89 m → S 41.902277°
W 42.978516°		 →
↑
7 270.14 m
↓
↑
7 270.14 m
↓
S 41.967659°
W 43.066406°		 ← 7 266.43 m →
52 855 088 m²		 S 41.967659°
W 42.978516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3804931640625 y=0.6285400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3804931640625 × 212)
    floor (0.3804931640625 × 4096)
    floor (1558.5)     		tx = 1558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6285400390625 × 212)
    floor (0.6285400390625 × 4096)
    floor (2574.5)     		ty = 2574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1558 / 2574 ti = "12/1558/2574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1558/2574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1558 ÷ 212
    1558 ÷ 4096     		x = 0.38037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2574 ÷ 212
    2574 ÷ 4096     		y = 0.62841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75165059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.806873894404785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75165059} λ = -0.75165059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806873894404785))-π/2
    2×atan(0.446250915475452)-π/2
    2×0.419731814182209-π/2
    0.839463628364418-1.57079632675     		φ = -0.73133270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75165059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73133270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.902277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1558 KachelY 2574 -0.75165059 -0.73133270 -43.066406 -41.902277
    Oben rechts KachelX + 1 1559 KachelY 2574 -0.75011661 -0.73133270 -42.978516 -41.902277
    Unten links KachelX 1558 KachelY + 1 2575 -0.75165059 -0.73247383 -43.066406 -41.967659
    Unten rechts KachelX + 1 1559 KachelY + 1 2575 -0.75011661 -0.73247383 -42.978516 -41.967659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73133270--0.73247383) × R
    0.00114113000000005 × 6371000     		dl = 7270.13923000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73133270--0.73247383) × R
    0.00114113000000005 × 6371000     		dr = 7270.13923000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75165059--0.75011661) × cos(-0.73133270) × R
    0.00153398000000005 × 0.744285003697341 × 6371000     		do = 7273.88735282958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75165059--0.75011661) × cos(-0.73247383) × R
    0.00153398000000005 × 0.743522401747397 × 6371000     		du = 7266.4344542069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73133270)-sin(-0.73247383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744285003697341-0.743522401747397)×R²
    abs(-0.75011661--0.75165059)×0.000762601949943487×R²
    0.00153398000000005×0.000762601949943487×6371000²
    0.00153398000000005×0.000762601949943487×40589641000000     		ar = 52855087.728637m²