Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1559 / 2583
↖ ↑ ↗
← S 42.488302°
W 42.978516°		 ← 7 206.80 m → S 42.488302°
W 42.890625°		 →
↑
7 203.05 m
↓
↑
7 203.05 m
↓
S 42.553080°
W 42.978516°		 ← 7 199.33 m →
51 884 044 m²		 S 42.553080°
W 42.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3807373046875 y=0.6307373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3807373046875 × 212)
    floor (0.3807373046875 × 4096)
    floor (1559.5)     		tx = 1559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6307373046875 × 212)
    floor (0.6307373046875 × 4096)
    floor (2583.5)     		ty = 2583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1559 / 2583 ti = "12/1559/2583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1559/2583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1559 ÷ 212
    1559 ÷ 4096     		x = 0.380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2583 ÷ 212
    2583 ÷ 4096     		y = 0.630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.23876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75011661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.26123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.820679721495361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75011661} λ = -0.75011661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820679721495361))-π/2
    2×atan(0.440132385364551)-π/2
    2×0.414617781843255-π/2
    0.82923556368651-1.57079632675     		φ = -0.74156076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75011661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.978516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74156076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.488302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1559 KachelY 2583 -0.75011661 -0.74156076 -42.978516 -42.488302
    Oben rechts KachelX + 1 1560 KachelY 2583 -0.74858262 -0.74156076 -42.890625 -42.488302
    Unten links KachelX 1559 KachelY + 1 2584 -0.75011661 -0.74269136 -42.978516 -42.553080
    Unten rechts KachelX + 1 1560 KachelY + 1 2584 -0.74858262 -0.74269136 -42.890625 -42.553080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74156076--0.74269136) × R
    0.00113059999999998 × 6371000     		dl = 7203.05259999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74156076--0.74269136) × R
    0.00113059999999998 × 6371000     		dr = 7203.05259999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75011661--0.74858262) × cos(-0.74156076) × R
    0.00153398999999999 × 0.737415258111804 × 6371000     		do = 7206.79640213992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75011661--0.74858262) × cos(-0.74269136) × R
    0.00153398999999999 × 0.736651134889731 × 6371000     		du = 7199.32858746284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74156076)-sin(-0.74269136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737415258111804-0.736651134889731)×R²
    abs(-0.74858262--0.75011661)×0.000764123222072977×R²
    0.00153398999999999×0.000764123222072977×6371000²
    0.00153398999999999×0.000764123222072977×40589641000000     		ar = 51884043.5579013m²