Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 156 / 236
↖ ↑ ↗
← S 81.923187°
E 39.375000°		 ← 21.970 km → S 81.923187°
E 40.781250°		 →
↑
21.705 km
↓
↑
21.705 km
↓
S 82.118384°
E 39.375000°		 ← 21.442 km →
471.127 km²		 S 82.118384°
E 40.781250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611328125 y=0.923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611328125 × 28)
    floor (0.611328125 × 256)
    floor (156.5)     		tx = 156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.923828125 × 28)
    floor (0.923828125 × 256)
    floor (236.5)     		ty = 236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 156 / 236 ti = "8/156/236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/156/236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 156 ÷ 28
    156 ÷ 256     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 236 ÷ 28
    236 ÷ 256     		y = 0.921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.921875 × 2 - 1) × π
    -0.84375 × 3.1415926535     		Φ = -2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.65071880139062))-π/2
    2×atan(0.0706004471177333)-π/2
    2×0.0704834958458305-π/2
    0.140966991691661-1.57079632675     		φ = -1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 156 KachelY 236 0.68722339 -1.42982934 39.375000 -81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 157 KachelY 236 0.71176709 -1.42982934 40.781250 -81.923187
    Unten links KachelX 156 KachelY + 1 237 0.68722339 -1.43323617 39.375000 -82.118384
    Unten rechts KachelX + 1 157 KachelY + 1 237 0.71176709 -1.43323617 40.781250 -82.118384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42982934--1.43323617) × R
    0.00340683000000008 × 6371000     		dl = 21704.9139300005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42982934--1.43323617) × R
    0.00340683000000008 × 6371000     		dr = 21704.9139300005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.71176709) × cos(-1.42982934) × R
    0.0245437000000001 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 21969.7816531891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.71176709) × cos(-1.43323617) × R
    0.0245437000000001 × 0.137126729932919 × 6371000     		du = 21442.2205349872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42982934)-sin(-1.43323617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.137126729932919)×R²
    abs(0.71176709-0.68722339)×0.00337384511369737×R²
    0.0245437000000001×0.00337384511369737×6371000²
    0.0245437000000001×0.00337384511369737×40589641000000     		ar = 471127341.189686m²