Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 156 / 43
↖ ↑ ↗
← N 75.845168°
E 39.375000°		 ← 38.239 km → N 75.845168°
E 40.781250°		 →
↑
38.697 km
↓
↑
38.697 km
↓
N 75.497157°
E 39.375000°		 ← 39.159 km →
1 497.53 km²		 N 75.497157°
E 40.781250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611328125 y=0.169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611328125 × 28)
    floor (0.611328125 × 256)
    floor (156.5)     		tx = 156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169921875 × 28)
    floor (0.169921875 × 256)
    floor (43.5)     		ty = 43
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 156 / 43 ti = "8/156/43"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/156/43.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 156 ÷ 28
    156 ÷ 256     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43 ÷ 28
    43 ÷ 256     		y = 0.16796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16796875 × 2 - 1) × π
    0.6640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08621387146484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08621387146484))-π/2
    2×atan(8.05436251093064)-π/2
    2×1.44727211976903-π/2
    2.89454423953806-1.57079632675     		φ = 1.32374791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32374791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.845168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 156 KachelY 43 0.68722339 1.32374791 39.375000 75.845168
    Oben rechts KachelX + 1 157 KachelY 43 0.71176709 1.32374791 40.781250 75.845168
    Unten links KachelX 156 KachelY + 1 44 0.68722339 1.31767397 39.375000 75.497157
    Unten rechts KachelX + 1 157 KachelY + 1 44 0.71176709 1.31767397 40.781250 75.497157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32374791-1.31767397) × R
    0.00607394000000006 × 6371000     		dl = 38697.0717400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32374791-1.31767397) × R
    0.00607394000000006 × 6371000     		dr = 38697.0717400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.71176709) × cos(1.32374791) × R
    0.0245437000000001 × 0.244543060104282 × 6371000     		do = 38238.6878737772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.71176709) × cos(1.31767397) × R
    0.0245437000000001 × 0.250428038638996 × 6371000     		du = 39158.9096835348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32374791)-sin(1.31767397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244543060104282-0.250428038638996)×R²
    abs(0.71176709-0.68722339)×0.00588497853471415×R²
    0.0245437000000001×0.00588497853471415×6371000²
    0.0245437000000001×0.00588497853471415×40589641000000     		ar = 1497534796.6067m²