Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 156 / 44
↖ ↑ ↗
← N 75.497157°
E 39.375000°		 ← 39.159 km → N 75.497157°
E 40.781250°		 →
↑
39.628 km
↓
↑
39.628 km
↓
N 75.140778°
E 39.375000°		 ← 40.100 km →
1 570.42 km²		 N 75.140778°
E 40.781250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611328125 y=0.173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611328125 × 28)
    floor (0.611328125 × 256)
    floor (156.5)     		tx = 156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173828125 × 28)
    floor (0.173828125 × 256)
    floor (44.5)     		ty = 44
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 156 / 44 ti = "8/156/44"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/156/44.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 156 ÷ 28
    156 ÷ 256     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44 ÷ 28
    44 ÷ 256     		y = 0.171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171875 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06167017885938))-π/2
    2×atan(7.85908493247811)-π/2
    2×1.44423514894581-π/2
    2.88847029789162-1.57079632675     		φ = 1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 156 KachelY 44 0.68722339 1.31767397 39.375000 75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 157 KachelY 44 0.71176709 1.31767397 40.781250 75.497157
    Unten links KachelX 156 KachelY + 1 45 0.68722339 1.31145398 39.375000 75.140778
    Unten rechts KachelX + 1 157 KachelY + 1 45 0.71176709 1.31145398 40.781250 75.140778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31767397-1.31145398) × R
    0.00621998999999995 × 6371000     		dl = 39627.5562899997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31767397-1.31145398) × R
    0.00621998999999995 × 6371000     		dr = 39627.5562899997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.71176709) × cos(1.31767397) × R
    0.0245437000000001 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 39158.9096835348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.71176709) × cos(1.31145398) × R
    0.0245437000000001 × 0.256444946876806 × 6371000     		du = 40099.7610655887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31767397)-sin(1.31145398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.256444946876806)×R²
    abs(0.71176709-0.68722339)×0.0060169082378107×R²
    0.0245437000000001×0.0060169082378107×6371000²
    0.0245437000000001×0.0060169082378107×40589641000000     		ar = 1570418781.36023m²