Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1560 / 1544
↖ ↑ ↗
← S 67.067433°
E 94.218750°		 ← 7 616.06 m → S 67.067433°
E 94.394531°		 →
↑
7 605.32 m
↓
↑
7 605.32 m
↓
S 67.135829°
E 94.218750°		 ← 7 594.57 m →
57 840 858 m²		 S 67.135829°
E 94.394531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761962890625 y=0.754150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761962890625 × 211)
    floor (0.761962890625 × 2048)
    floor (1560.5)     		tx = 1560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754150390625 × 211)
    floor (0.754150390625 × 2048)
    floor (1544.5)     		ty = 1544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1560 / 1544 ti = "11/1560/1544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1560/1544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1560 ÷ 211
    1560 ÷ 2048     		x = 0.76171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1544 ÷ 211
    1544 ÷ 2048     		y = 0.75390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76171875 × 2 - 1) × π
    0.5234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64442740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75390625 × 2 - 1) × π
    -0.5078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59534001935547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64442740} λ = 1.64442740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59534001935547))-π/2
    2×atan(0.202839547403583)-π/2
    2×0.200124396987206-π/2
    0.400248793974412-1.57079632675     		φ = -1.17054753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64442740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17054753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.067433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1560 KachelY 1544 1.64442740 -1.17054753 94.218750 -67.067433
    Oben rechts KachelX + 1 1561 KachelY 1544 1.64749537 -1.17054753 94.394531 -67.067433
    Unten links KachelX 1560 KachelY + 1 1545 1.64442740 -1.17174127 94.218750 -67.135829
    Unten rechts KachelX + 1 1561 KachelY + 1 1545 1.64749537 -1.17174127 94.394531 -67.135829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17054753--1.17174127) × R
    0.00119374000000017 × 6371000     		dl = 7605.31754000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17054753--1.17174127) × R
    0.00119374000000017 × 6371000     		dr = 7605.31754000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64442740-1.64749537) × cos(-1.17054753) × R
    0.00306796999999981 × 0.389647487277031 × 6371000     		do = 7616.06415261923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64442740-1.64749537) × cos(-1.17174127) × R
    0.00306796999999981 × 0.388547818251162 × 6371000     		du = 7594.5699812948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17054753)-sin(-1.17174127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389647487277031-0.388547818251162)×R²
    abs(1.64749537-1.64442740)×0.00109966902586905×R²
    0.00306796999999981×0.00109966902586905×6371000²
    0.00306796999999981×0.00109966902586905×40589641000000     		ar = 57840858.1552786m²