Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1560 / 2536
↖ ↑ ↗
← S 39.368279°
W 42.890625°		 ← 7 555.35 m → S 39.368279°
W 42.802734°		 →
↑
7 551.67 m
↓
↑
7 551.67 m
↓
S 39.436193°
W 42.890625°		 ← 7 547.99 m →
57 027 765 m²		 S 39.436193°
W 42.802734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3809814453125 y=0.6192626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3809814453125 × 212)
    floor (0.3809814453125 × 4096)
    floor (1560.5)     		tx = 1560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6192626953125 × 212)
    floor (0.6192626953125 × 4096)
    floor (2536.5)     		ty = 2536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1560 / 2536 ti = "12/1560/2536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1560/2536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1560 ÷ 212
    1560 ÷ 4096     		x = 0.380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2536 ÷ 212
    2536 ÷ 4096     		y = 0.619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380859375 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619140625 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.748582624466797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74858262} λ = -0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.748582624466797))-π/2
    2×atan(0.473036548241022)-π/2
    2×0.441845117407181-π/2
    0.883690234814362-1.57079632675     		φ = -0.68710609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68710609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.368279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1560 KachelY 2536 -0.74858262 -0.68710609 -42.890625 -39.368279
    Oben rechts KachelX + 1 1561 KachelY 2536 -0.74704864 -0.68710609 -42.802734 -39.368279
    Unten links KachelX 1560 KachelY + 1 2537 -0.74858262 -0.68829141 -42.890625 -39.436193
    Unten rechts KachelX + 1 1561 KachelY + 1 2537 -0.74704864 -0.68829141 -42.802734 -39.436193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68710609--0.68829141) × R
    0.00118532000000005 × 6371000     		dl = 7551.67372000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68710609--0.68829141) × R
    0.00118532000000005 × 6371000     		dr = 7551.67372000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74858262--0.74704864) × cos(-0.68710609) × R
    0.00153397999999993 × 0.773084864262395 × 6371000     		do = 7555.34800363719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74858262--0.74704864) × cos(-0.68829141) × R
    0.00153397999999993 × 0.772332469790943 × 6371000     		du = 7547.99486256482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68710609)-sin(-0.68829141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773084864262395-0.772332469790943)×R²
    abs(-0.74704864--0.74858262)×0.000752394471452589×R²
    0.00153397999999993×0.000752394471452589×6371000²
    0.00153397999999993×0.000752394471452589×40589641000000     		ar = 57027765.3803448m²