Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1560 / 2551
↖ ↑ ↗
← S 40.380029°
W 42.890625°		 ← 7 444.71 m → S 40.380029°
W 42.802734°		 →
↑
7 441.01 m
↓
↑
7 441.01 m
↓
S 40.446947°
W 42.890625°		 ← 7 437.31 m →
55 368 640 m²		 S 40.446947°
W 42.802734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3809814453125 y=0.6229248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3809814453125 × 212)
    floor (0.3809814453125 × 4096)
    floor (1560.5)     		tx = 1560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6229248046875 × 212)
    floor (0.6229248046875 × 4096)
    floor (2551.5)     		ty = 2551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1560 / 2551 ti = "12/1560/2551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1560/2551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1560 ÷ 212
    1560 ÷ 4096     		x = 0.380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2551 ÷ 212
    2551 ÷ 4096     		y = 0.622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380859375 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.24560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.771592336284424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74858262} λ = -0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771592336284424))-π/2
    2×atan(0.462276382483838)-π/2
    2×0.433015939569519-π/2
    0.866031879139039-1.57079632675     		φ = -0.70476445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70476445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.380029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1560 KachelY 2551 -0.74858262 -0.70476445 -42.890625 -40.380029
    Oben rechts KachelX + 1 1561 KachelY 2551 -0.74704864 -0.70476445 -42.802734 -40.380029
    Unten links KachelX 1560 KachelY + 1 2552 -0.74858262 -0.70593240 -42.890625 -40.446947
    Unten rechts KachelX + 1 1561 KachelY + 1 2552 -0.74704864 -0.70593240 -42.802734 -40.446947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70476445--0.70593240) × R
    0.00116795000000003 × 6371000     		dl = 7441.00945000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70476445--0.70593240) × R
    0.00116795000000003 × 6371000     		dr = 7441.00945000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74858262--0.74704864) × cos(-0.70476445) × R
    0.00153397999999993 × 0.761764175000645 × 6371000     		do = 7444.71105940576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74858262--0.74704864) × cos(-0.70593240) × R
    0.00153397999999993 × 0.76100699404595 × 6371000     		du = 7437.31114009689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70476445)-sin(-0.70593240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761764175000645-0.76100699404595)×R²
    abs(-0.74704864--0.74858262)×0.000757180954694792×R²
    0.00153397999999993×0.000757180954694792×6371000²
    0.00153397999999993×0.000757180954694792×40589641000000     		ar = 55368640.2048675m²