Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1560 / 3608
↖ ↑ ↗
← S 79.560546°
W 42.890625°		 ← 1 770.83 m → S 79.560546°
W 42.802734°		 →
↑
1 769.48 m
↓
↑
1 769.48 m
↓
S 79.576460°
W 42.890625°		 ← 1 768.16 m →
3 131 089 m²		 S 79.576460°
W 42.802734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3809814453125 y=0.8809814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3809814453125 × 212)
    floor (0.3809814453125 × 4096)
    floor (1560.5)     		tx = 1560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8809814453125 × 212)
    floor (0.8809814453125 × 4096)
    floor (3608.5)     		ty = 3608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1560 / 3608 ti = "12/1560/3608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1560/3608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1560 ÷ 212
    1560 ÷ 4096     		x = 0.380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3608 ÷ 212
    3608 ÷ 4096     		y = 0.880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380859375 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.880859375 × 2 - 1) × π
    -0.76171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.3930100290332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74858262} λ = -0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3930100290332))-π/2
    2×atan(0.0913542905476178)-π/2
    2×0.0911014199096706-π/2
    0.182202839819341-1.57079632675     		φ = -1.38859349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38859349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.560546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1560 KachelY 3608 -0.74858262 -1.38859349 -42.890625 -79.560546
    Oben rechts KachelX + 1 1561 KachelY 3608 -0.74704864 -1.38859349 -42.802734 -79.560546
    Unten links KachelX 1560 KachelY + 1 3609 -0.74858262 -1.38887123 -42.890625 -79.576460
    Unten rechts KachelX + 1 1561 KachelY + 1 3609 -0.74704864 -1.38887123 -42.802734 -79.576460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38859349--1.38887123) × R
    0.000277739999999804 × 6371000     		dl = 1769.48153999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38859349--1.38887123) × R
    0.000277739999999804 × 6371000     		dr = 1769.48153999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74858262--0.74704864) × cos(-1.38859349) × R
    0.00153397999999993 × 0.181196384390541 × 6371000     		do = 1770.8298329932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74858262--0.74704864) × cos(-1.38887123) × R
    0.00153397999999993 × 0.180923234854145 × 6371000     		du = 1768.16034623967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38859349)-sin(-1.38887123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181196384390541-0.180923234854145)×R²
    abs(-0.74704864--0.74858262)×0.000273149536395678×R²
    0.00153397999999993×0.000273149536395678×6371000²
    0.00153397999999993×0.000273149536395678×40589641000000     		ar = 3131088.91632444m²