Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1564 / 2604
↖ ↑ ↗
← S 43.834527°
W 42.539062°		 ← 7 049.68 m → S 43.834527°
W 42.451172°		 →
↑
7 045.94 m
↓
↑
7 045.94 m
↓
S 43.897893°
W 42.539062°		 ← 7 042.19 m →
49 645 235 m²		 S 43.897893°
W 42.451172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3819580078125 y=0.6358642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3819580078125 × 212)
    floor (0.3819580078125 × 4096)
    floor (1564.5)     		tx = 1564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6358642578125 × 212)
    floor (0.6358642578125 × 4096)
    floor (2604.5)     		ty = 2604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1564 / 2604 ti = "12/1564/2604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1564/2604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1564 ÷ 212
    1564 ÷ 4096     		x = 0.3818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2604 ÷ 212
    2604 ÷ 4096     		y = 0.6357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3818359375 × 2 - 1) × π
    -0.236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74244670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6357421875 × 2 - 1) × π
    -0.271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.852893318040039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74244670} λ = -0.74244670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852893318040039))-π/2
    2×atan(0.426180071898415)-π/2
    2×0.402869754204406-π/2
    0.805739508408813-1.57079632675     		φ = -0.76505682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74244670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.539062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76505682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.834527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1564 KachelY 2604 -0.74244670 -0.76505682 -42.539062 -43.834527
    Oben rechts KachelX + 1 1565 KachelY 2604 -0.74091272 -0.76505682 -42.451172 -43.834527
    Unten links KachelX 1564 KachelY + 1 2605 -0.74244670 -0.76616276 -42.539062 -43.897893
    Unten rechts KachelX + 1 1565 KachelY + 1 2605 -0.74091272 -0.76616276 -42.451172 -43.897893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76505682--0.76616276) × R
    0.00110594000000008 × 6371000     		dl = 7045.94374000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76505682--0.76616276) × R
    0.00110594000000008 × 6371000     		dr = 7045.94374000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74244670--0.74091272) × cos(-0.76505682) × R
    0.00153398000000005 × 0.721343006319873 × 6371000     		do = 7049.67552034119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74244670--0.74091272) × cos(-0.76616276) × R
    0.00153398000000005 × 0.720576615639288 × 6371000     		du = 7042.18559450479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76505682)-sin(-0.76616276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721343006319873-0.720576615639288)×R²
    abs(-0.74091272--0.74244670)×0.000766390680584927×R²
    0.00153398000000005×0.000766390680584927×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766390680584927×40589641000000     		ar = 49645235.3636542m²