Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1567 / 1567
↖ ↑ ↗
← S 68.592486°
E 95.449219°		 ← 7 134.26 m → S 68.592486°
E 95.625000°		 →
↑
7 124.12 m
↓
↑
7 124.12 m
↓
S 68.656555°
E 95.449219°		 ← 7 113.91 m →
50 752 789 m²		 S 68.656555°
E 95.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765380859375 y=0.765380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765380859375 × 211)
    floor (0.765380859375 × 2048)
    floor (1567.5)     		tx = 1567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765380859375 × 211)
    floor (0.765380859375 × 2048)
    floor (1567.5)     		ty = 1567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1567 / 1567 ti = "11/1567/1567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1567/1567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1567 ÷ 211
    1567 ÷ 2048     		x = 0.76513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1567 ÷ 211
    1567 ÷ 2048     		y = 0.76513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76513671875 × 2 - 1) × π
    0.5302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66590314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76513671875 × 2 - 1) × π
    -0.5302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66590313559619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66590314} λ = 1.66590314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66590313559619))-π/2
    2×atan(0.189019870298119)-π/2
    2×0.186815796908552-π/2
    0.373631593817103-1.57079632675     		φ = -1.19716473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66590314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19716473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.592486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1567 KachelY 1567 1.66590314 -1.19716473 95.449219 -68.592486
    Oben rechts KachelX + 1 1568 KachelY 1567 1.66897110 -1.19716473 95.625000 -68.592486
    Unten links KachelX 1567 KachelY + 1 1568 1.66590314 -1.19828294 95.449219 -68.656555
    Unten rechts KachelX + 1 1568 KachelY + 1 1568 1.66897110 -1.19828294 95.625000 -68.656555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19716473--1.19828294) × R
    0.00111821000000001 × 6371000     		dl = 7124.11591000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19716473--1.19828294) × R
    0.00111821000000001 × 6371000     		dr = 7124.11591000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66590314-1.66897110) × cos(-1.19716473) × R
    0.00306796000000009 × 0.364998876943627 × 6371000     		do = 7134.25825217049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66590314-1.66897110) × cos(-1.19828294) × R
    0.00306796000000009 × 0.363957586554578 × 6371000     		du = 7113.90521817437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19716473)-sin(-1.19828294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364998876943627-0.363957586554578)×R²
    abs(1.66897110-1.66590314)×0.00104129038904915×R²
    0.00306796000000009×0.00104129038904915×6371000²
    0.00306796000000009×0.00104129038904915×40589641000000     		ar = 50752789.3220918m²