Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1567 / 2655
↖ ↑ ↗
← S 46.980253°
W 42.275391°		 ← 6 667.62 m → S 46.980253°
W 42.187500°		 →
↑
6 663.87 m
↓
↑
6 663.87 m
↓
S 47.040182°
W 42.275391°		 ← 6 660.15 m →
44 407 301 m²		 S 47.040182°
W 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3826904296875 y=0.6483154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3826904296875 × 212)
    floor (0.3826904296875 × 4096)
    floor (1567.5)     		tx = 1567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6483154296875 × 212)
    floor (0.6483154296875 × 4096)
    floor (2655.5)     		ty = 2655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1567 / 2655 ti = "12/1567/2655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1567/2655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1567 ÷ 212
    1567 ÷ 4096     		x = 0.382568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2655 ÷ 212
    2655 ÷ 4096     		y = 0.648193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.23486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73784476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648193359375 × 2 - 1) × π
    -0.29638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.931126338219971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73784476} λ = -0.73784476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.931126338219971))-π/2
    2×atan(0.394109559626714)-π/2
    2×0.375418119898332-π/2
    0.750836239796665-1.57079632675     		φ = -0.81996009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73784476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.275391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81996009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.980253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1567 KachelY 2655 -0.73784476 -0.81996009 -42.275391 -46.980253
    Oben rechts KachelX + 1 1568 KachelY 2655 -0.73631078 -0.81996009 -42.187500 -46.980253
    Unten links KachelX 1567 KachelY + 1 2656 -0.73784476 -0.82100606 -42.275391 -47.040182
    Unten rechts KachelX + 1 1568 KachelY + 1 2656 -0.73631078 -0.82100606 -42.187500 -47.040182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81996009--0.82100606) × R
    0.00104596999999995 × 6371000     		dl = 6663.87486999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81996009--0.82100606) × R
    0.00104596999999995 × 6371000     		dr = 6663.87486999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73784476--0.73631078) × cos(-0.81996009) × R
    0.00153397999999993 × 0.682250386774346 × 6371000     		do = 6667.62387414521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73784476--0.73631078) × cos(-0.82100606) × R
    0.00153397999999993 × 0.681485285580883 × 6371000     		du = 6660.14655044916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81996009)-sin(-0.82100606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682250386774346-0.681485285580883)×R²
    abs(-0.73631078--0.73784476)×0.000765101193463291×R²
    0.00153397999999993×0.000765101193463291×6371000²
    0.00153397999999993×0.000765101193463291×40589641000000     		ar = 44407301.2514531m²