Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1568 / 2592
↖ ↑ ↗
← S 43.068888°
W 42.187500°		 ← 7 139.49 m → S 43.068888°
W 42.099610°		 →
↑
7 135.71 m
↓
↑
7 135.71 m
↓
S 43.133061°
W 42.187500°		 ← 7 132.01 m →
50 918 666 m²		 S 43.133061°
W 42.099610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3829345703125 y=0.6329345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3829345703125 × 212)
    floor (0.3829345703125 × 4096)
    floor (1568.5)     		tx = 1568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6329345703125 × 212)
    floor (0.6329345703125 × 4096)
    floor (2592.5)     		ty = 2592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1568 / 2592 ti = "12/1568/2592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1568/2592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1568 ÷ 212
    1568 ÷ 4096     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2592 ÷ 212
    2592 ÷ 4096     		y = 0.6328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6328125 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.834485548585937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834485548585937))-π/2
    2×atan(0.434097746198003)-π/2
    2×0.409551214990565-π/2
    0.819102429981129-1.57079632675     		φ = -0.75169390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75169390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.068888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1568 KachelY 2592 -0.73631078 -0.75169390 -42.187500 -43.068888
    Oben rechts KachelX + 1 1569 KachelY 2592 -0.73477680 -0.75169390 -42.099610 -43.068888
    Unten links KachelX 1568 KachelY + 1 2593 -0.73631078 -0.75281393 -42.187500 -43.133061
    Unten rechts KachelX + 1 1569 KachelY + 1 2593 -0.73477680 -0.75281393 -42.099610 -43.133061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75169390--0.75281393) × R
    0.00112002999999994 × 6371000     		dl = 7135.71112999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75169390--0.75281393) × R
    0.00112002999999994 × 6371000     		dr = 7135.71112999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.73477680) × cos(-0.75169390) × R
    0.00153398000000005 × 0.730533191814215 × 6371000     		do = 7139.4910798451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.73477680) × cos(-0.75281393) × R
    0.00153398000000005 × 0.729767890820886 × 6371000     		du = 7132.01180350763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75169390)-sin(-0.75281393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730533191814215-0.729767890820886)×R²
    abs(-0.73477680--0.73631078)×0.000765300993329276×R²
    0.00153398000000005×0.000765300993329276×6371000²
    0.00153398000000005×0.000765300993329276×40589641000000     		ar = 50918666.306266m²