Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1568 / 2656
↖ ↑ ↗
← S 47.040182°
W 42.187500°		 ← 6 660.15 m → S 47.040182°
W 42.099610°		 →
↑
6 656.42 m
↓
↑
6 656.42 m
↓
S 47.100045°
W 42.187500°		 ← 6 652.67 m →
44 307 860 m²		 S 47.100045°
W 42.099610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3829345703125 y=0.6485595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3829345703125 × 212)
    floor (0.3829345703125 × 4096)
    floor (1568.5)     		tx = 1568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6485595703125 × 212)
    floor (0.6485595703125 × 4096)
    floor (2656.5)     		ty = 2656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1568 / 2656 ti = "12/1568/2656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1568/2656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1568 ÷ 212
    1568 ÷ 4096     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2656 ÷ 212
    2656 ÷ 4096     		y = 0.6484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6484375 × 2 - 1) × π
    -0.296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.932660319007813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932660319007813))-π/2
    2×atan(0.393505466585958)-π/2
    2×0.37489513382417-π/2
    0.749790267648339-1.57079632675     		φ = -0.82100606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82100606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.040182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1568 KachelY 2656 -0.73631078 -0.82100606 -42.187500 -47.040182
    Oben rechts KachelX + 1 1569 KachelY 2656 -0.73477680 -0.82100606 -42.099610 -47.040182
    Unten links KachelX 1568 KachelY + 1 2657 -0.73631078 -0.82205086 -42.187500 -47.100045
    Unten rechts KachelX + 1 1569 KachelY + 1 2657 -0.73477680 -0.82205086 -42.099610 -47.100045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82100606--0.82205086) × R
    0.00104480000000007 × 6371000     		dl = 6656.42080000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82100606--0.82205086) × R
    0.00104480000000007 × 6371000     		dr = 6656.42080000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.73477680) × cos(-0.82100606) × R
    0.00153398000000005 × 0.681485285580883 × 6371000     		do = 6660.14655044964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.73477680) × cos(-0.82205086) × R
    0.00153398000000005 × 0.680720295882583 × 6371000     		du = 6652.67031639431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82100606)-sin(-0.82205086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681485285580883-0.680720295882583)×R²
    abs(-0.73477680--0.73631078)×0.000764989698300189×R²
    0.00153398000000005×0.000764989698300189×6371000²
    0.00153398000000005×0.000764989698300189×40589641000000     		ar = 44307859.5800916m²