Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1568 / 3616
↖ ↑ ↗
← S 79.687184°
W 42.187500°		 ← 1 749.58 m → S 79.687184°
W 42.099610°		 →
↑
1 748.20 m
↓
↑
1 748.20 m
↓
S 79.702906°
W 42.187500°		 ← 1 746.94 m →
3 056 318 m²		 S 79.702906°
W 42.099610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3829345703125 y=0.8829345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3829345703125 × 212)
    floor (0.3829345703125 × 4096)
    floor (1568.5)     		tx = 1568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8829345703125 × 212)
    floor (0.8829345703125 × 4096)
    floor (3616.5)     		ty = 3616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1568 / 3616 ti = "12/1568/3616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1568/3616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1568 ÷ 212
    1568 ÷ 4096     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3616 ÷ 212
    3616 ÷ 4096     		y = 0.8828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8828125 × 2 - 1) × π
    -0.765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40528187533594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40528187533594))-π/2
    2×atan(0.0902400555785128)-π/2
    2×0.0899962958339908-π/2
    0.179992591667982-1.57079632675     		φ = -1.39080374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39080374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.687184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1568 KachelY 3616 -0.73631078 -1.39080374 -42.187500 -79.687184
    Oben rechts KachelX + 1 1569 KachelY 3616 -0.73477680 -1.39080374 -42.099610 -79.687184
    Unten links KachelX 1568 KachelY + 1 3617 -0.73631078 -1.39107814 -42.187500 -79.702906
    Unten rechts KachelX + 1 1569 KachelY + 1 3617 -0.73477680 -1.39107814 -42.099610 -79.702906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39080374--1.39107814) × R
    0.000274400000000119 × 6371000     		dl = 1748.20240000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39080374--1.39107814) × R
    0.000274400000000119 × 6371000     		dr = 1748.20240000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.73477680) × cos(-1.39080374) × R
    0.00153398000000005 × 0.179022279985821 × 6371000     		do = 1749.58233982248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.73477680) × cos(-1.39107814) × R
    0.00153398000000005 × 0.178752306175962 × 6371000     		du = 1746.94388940178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39080374)-sin(-1.39107814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179022279985821-0.178752306175962)×R²
    abs(-0.73477680--0.73631078)×0.000269973809858354×R²
    0.00153398000000005×0.000269973809858354×6371000²
    0.00153398000000005×0.000269973809858354×40589641000000     		ar = 3056317.79196881m²