Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1569 / 2527
↖ ↑ ↗
← S 38.754083°
W 42.099610°		 ← 7 621.36 m → S 38.754083°
W 42.011719°		 →
↑
7 617.74 m
↓
↑
7 617.74 m
↓
S 38.822591°
W 42.099610°		 ← 7 614.04 m →
58 029 707 m²		 S 38.822591°
W 42.011719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3831787109375 y=0.6170654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3831787109375 × 212)
    floor (0.3831787109375 × 4096)
    floor (1569.5)     		tx = 1569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6170654296875 × 212)
    floor (0.6170654296875 × 4096)
    floor (2527.5)     		ty = 2527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1569 / 2527 ti = "12/1569/2527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1569/2527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1569 ÷ 212
    1569 ÷ 4096     		x = 0.383056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2527 ÷ 212
    2527 ÷ 4096     		y = 0.616943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.23388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73477680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616943359375 × 2 - 1) × π
    -0.23388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.734776797376221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73477680} λ = -0.73477680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.734776797376221))-π/2
    2×atan(0.479612497796682)-π/2
    2×0.447204987528322-π/2
    0.894409975056645-1.57079632675     		φ = -0.67638635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73477680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.099610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67638635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.754083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1569 KachelY 2527 -0.73477680 -0.67638635 -42.099610 -38.754083
    Oben rechts KachelX + 1 1570 KachelY 2527 -0.73324282 -0.67638635 -42.011719 -38.754083
    Unten links KachelX 1569 KachelY + 1 2528 -0.73477680 -0.67758204 -42.099610 -38.822591
    Unten rechts KachelX + 1 1570 KachelY + 1 2528 -0.73324282 -0.67758204 -42.011719 -38.822591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67638635--0.67758204) × R
    0.00119568999999997 × 6371000     		dl = 7617.74098999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67638635--0.67758204) × R
    0.00119568999999997 × 6371000     		dr = 7617.74098999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73477680--0.73324282) × cos(-0.67638635) × R
    0.00153398000000005 × 0.779839874768796 × 6371000     		do = 7621.36463066455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73477680--0.73324282) × cos(-0.67758204) × R
    0.00153398000000005 × 0.779090840599552 × 6371000     		du = 7614.04432978057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67638635)-sin(-0.67758204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779839874768796-0.779090840599552)×R²
    abs(-0.73324282--0.73477680)×0.000749034169243878×R²
    0.00153398000000005×0.000749034169243878×6371000²
    0.00153398000000005×0.000749034169243878×40589641000000     		ar = 58029706.5823296m²