Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1570 / 2530
↖ ↑ ↗
← S 38.959409°
W 42.011719°		 ← 7 599.39 m → S 38.959409°
W 41.923828°		 →
↑
7 595.70 m
↓
↑
7 595.70 m
↓
S 39.027719°
W 42.011719°		 ← 7 592.06 m →
57 694 847 m²		 S 39.027719°
W 41.923828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3834228515625 y=0.6177978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3834228515625 × 212)
    floor (0.3834228515625 × 4096)
    floor (1570.5)     		tx = 1570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6177978515625 × 212)
    floor (0.6177978515625 × 4096)
    floor (2530.5)     		ty = 2530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1570 / 2530 ti = "12/1570/2530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1570/2530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1570 ÷ 212
    1570 ÷ 4096     		x = 0.38330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2530 ÷ 212
    2530 ÷ 4096     		y = 0.61767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73324282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.739378739739746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73324282} λ = -0.73324282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.739378739739746))-π/2
    2×atan(0.477410419529904)-π/2
    2×0.445413184376288-π/2
    0.890826368752575-1.57079632675     		φ = -0.67996996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73324282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67996996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.959409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1570 KachelY 2530 -0.73324282 -0.67996996 -42.011719 -38.959409
    Oben rechts KachelX + 1 1571 KachelY 2530 -0.73170884 -0.67996996 -41.923828 -38.959409
    Unten links KachelX 1570 KachelY + 1 2531 -0.73324282 -0.68116219 -42.011719 -39.027719
    Unten rechts KachelX + 1 1571 KachelY + 1 2531 -0.73170884 -0.68116219 -41.923828 -39.027719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67996996--0.68116219) × R
    0.00119223000000002 × 6371000     		dl = 7595.6973300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67996996--0.68116219) × R
    0.00119223000000002 × 6371000     		dr = 7595.6973300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73324282--0.73170884) × cos(-0.67996996) × R
    0.00153397999999993 × 0.777591607342525 × 6371000     		do = 7599.39234327881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73324282--0.73170884) × cos(-0.68116219) × R
    0.00153397999999993 × 0.776841416822776 × 6371000     		du = 7592.06074139685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67996996)-sin(-0.68116219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777591607342525-0.776841416822776)×R²
    abs(-0.73170884--0.73324282)×0.00075019051974945×R²
    0.00153397999999993×0.00075019051974945×6371000²
    0.00153397999999993×0.00075019051974945×40589641000000     		ar = 57694846.6510662m²