Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1570 / 2594
↖ ↑ ↗
← S 43.197167°
W 42.011719°		 ← 7 124.53 m → S 43.197167°
W 41.923828°		 →
↑
7 120.80 m
↓
↑
7 120.80 m
↓
S 43.261206°
W 42.011719°		 ← 7 117.05 m →
50 705 752 m²		 S 43.261206°
W 41.923828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3834228515625 y=0.6334228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3834228515625 × 212)
    floor (0.3834228515625 × 4096)
    floor (1570.5)     		tx = 1570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6334228515625 × 212)
    floor (0.6334228515625 × 4096)
    floor (2594.5)     		ty = 2594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1570 / 2594 ti = "12/1570/2594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1570/2594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1570 ÷ 212
    1570 ÷ 4096     		x = 0.38330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2594 ÷ 212
    2594 ÷ 4096     		y = 0.63330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73324282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.837553510161621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73324282} λ = -0.73324282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837553510161621))-π/2
    2×atan(0.432767991853207)-π/2
    2×0.408431765098965-π/2
    0.81686353019793-1.57079632675     		φ = -0.75393280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73324282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75393280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.197167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1570 KachelY 2594 -0.73324282 -0.75393280 -42.011719 -43.197167
    Oben rechts KachelX + 1 1571 KachelY 2594 -0.73170884 -0.75393280 -41.923828 -43.197167
    Unten links KachelX 1570 KachelY + 1 2595 -0.73324282 -0.75505049 -42.011719 -43.261206
    Unten rechts KachelX + 1 1571 KachelY + 1 2595 -0.73170884 -0.75505049 -41.923828 -43.261206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75393280--0.75505049) × R
    0.00111769000000006 × 6371000     		dl = 7120.80299000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75393280--0.75505049) × R
    0.00111769000000006 × 6371000     		dr = 7120.80299000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73324282--0.73170884) × cos(-0.75393280) × R
    0.00153397999999993 × 0.729002468391097 × 6371000     		do = 7124.53134037277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73324282--0.73170884) × cos(-0.75505049) × R
    0.00153397999999993 × 0.728236942029552 × 6371000     		du = 7117.04986151475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75393280)-sin(-0.75505049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729002468391097-0.728236942029552)×R²
    abs(-0.73170884--0.73324282)×0.000765526361545255×R²
    0.00153397999999993×0.000765526361545255×6371000²
    0.00153397999999993×0.000765526361545255×40589641000000     		ar = 50705752.2809651m²