Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1571 / 2597
S 43.389082°
W 41.923828°
← 7 102.08 m → S 43.389082°
W 41.835938°

7 098.31 m

7 098.31 m
S 43.452919°
W 41.923828°
← 7 094.60 m →
50 386 259 m²
S 43.452919°
W 41.835938°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3836669921875 y=0.6341552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3836669921875 × 212)
    floor (0.3836669921875 × 4096)
    floor (1571.5)
    tx = 1571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6341552734375 × 212)
    floor (0.6341552734375 × 4096)
    floor (2597.5)
    ty = 2597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1571 / 2597 ti = "12/1571/2597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1571/2597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1571 ÷ 212
    1571 ÷ 4096
    x = 0.383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2597 ÷ 212
    2597 ÷ 4096
    y = 0.634033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.23291015625 × 3.1415926535
    Λ = -0.73170884
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.26806640625 × 3.1415926535
    Φ = -0.842155452525146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73170884} λ = -0.73170884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842155452525146))-π/2
    2×atan(0.430780994029349)-π/2
    2×0.406756993778591-π/2
    0.813513987557183-1.57079632675
    φ = -0.75728234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73170884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.923828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75728234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.389082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1571 KachelY 2597 -0.73170884 -0.75728234 -41.923828 -43.389082
    Oben rechts KachelX + 1 1572 KachelY 2597 -0.73017486 -0.75728234 -41.835938 -43.389082
    Unten links KachelX 1571 KachelY + 1 2598 -0.73170884 -0.75839650 -41.923828 -43.452919
    Unten rechts KachelX + 1 1572 KachelY + 1 2598 -0.73017486 -0.75839650 -41.835938 -43.452919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.75728234--0.75839650) × R
    0.00111415999999998 × 6371000
    dl = 7098.31335999984m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.75728234--0.75839650) × R
    0.00111415999999998 × 6371000
    dr = 7098.31335999984m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73170884--0.73017486) × cos(-0.75728234) × R
    0.00153398000000005 × 0.72670558599051 × 6371000
    do = 7102.0839394965m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73170884--0.73017486) × cos(-0.75839650) × R
    0.00153398000000005 × 0.725939763951328 × 6371000
    du = 7094.59957098491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.75728234)-sin(-0.75839650))×
    abs(λ12)×abs(0.72670558599051-0.725939763951328)×
    abs(-0.73017486--0.73170884)×0.000765822039181852×
    0.00153398000000005×0.000765822039181852×6371000²
    0.00153398000000005×0.000765822039181852×40589641000000
    ar = 50386259.3273309m²