Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1572 / 2588
↖ ↑ ↗
← S 42.811522°
W 41.835938°		 ← 7 169.44 m → S 42.811522°
W 41.748047°		 →
↑
7 165.65 m
↓
↑
7 165.65 m
↓
S 42.875964°
W 41.835938°		 ← 7 161.97 m →
51 346 982 m²		 S 42.875964°
W 41.748047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3839111328125 y=0.6319580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3839111328125 × 212)
    floor (0.3839111328125 × 4096)
    floor (1572.5)     		tx = 1572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6319580078125 × 212)
    floor (0.6319580078125 × 4096)
    floor (2588.5)     		ty = 2588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1572 / 2588 ti = "12/1572/2588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1572/2588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1572 ÷ 212
    1572 ÷ 4096     		x = 0.3837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2588 ÷ 212
    2588 ÷ 4096     		y = 0.6318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    -0.232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73017486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6318359375 × 2 - 1) × π
    -0.263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.82834962543457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73017486} λ = -0.73017486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82834962543457))-π/2
    2×atan(0.436769525141391)-π/2
    2×0.411797157285579-π/2
    0.823594314571158-1.57079632675     		φ = -0.74720201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73017486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.835938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74720201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.811522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1572 KachelY 2588 -0.73017486 -0.74720201 -41.835938 -42.811522
    Oben rechts KachelX + 1 1573 KachelY 2588 -0.72864087 -0.74720201 -41.748047 -42.811522
    Unten links KachelX 1572 KachelY + 1 2589 -0.73017486 -0.74832674 -41.835938 -42.875964
    Unten rechts KachelX + 1 1573 KachelY + 1 2589 -0.72864087 -0.74832674 -41.748047 -42.875964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74720201--0.74832674) × R
    0.00112473000000002 × 6371000     		dl = 7165.65483000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74720201--0.74832674) × R
    0.00112473000000002 × 6371000     		dr = 7165.65483000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73017486--0.72864087) × cos(-0.74720201) × R
    0.00153398999999999 × 0.733593220717427 × 6371000     		do = 7169.44343847441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73017486--0.72864087) × cos(-0.74832674) × R
    0.00153398999999999 × 0.732828402922542 × 6371000     		du = 7161.96883570232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74720201)-sin(-0.74832674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733593220717427-0.732828402922542)×R²
    abs(-0.72864087--0.73017486)×0.000764817794884687×R²
    0.00153398999999999×0.000764817794884687×6371000²
    0.00153398999999999×0.000764817794884687×40589641000000     		ar = 51346982.2044901m²