Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1572 / 2595
↖ ↑ ↗
← S 43.261206°
W 41.835938°		 ← 7 117.10 m → S 43.261206°
W 41.748047°		 →
↑
7 113.29 m
↓
↑
7 113.29 m
↓
S 43.325178°
W 41.835938°		 ← 7 109.61 m →
50 599 328 m²		 S 43.325178°
W 41.748047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3839111328125 y=0.6336669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3839111328125 × 212)
    floor (0.3839111328125 × 4096)
    floor (1572.5)     		tx = 1572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6336669921875 × 212)
    floor (0.6336669921875 × 4096)
    floor (2595.5)     		ty = 2595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1572 / 2595 ti = "12/1572/2595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1572/2595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1572 ÷ 212
    1572 ÷ 4096     		x = 0.3837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2595 ÷ 212
    2595 ÷ 4096     		y = 0.633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    -0.232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73017486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633544921875 × 2 - 1) × π
    -0.26708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.839087490949463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73017486} λ = -0.73017486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839087490949463))-π/2
    2×atan(0.432104642980402)-π/2
    2×0.407872920775334-π/2
    0.815745841550669-1.57079632675     		φ = -0.75505049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73017486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.835938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75505049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.261206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1572 KachelY 2595 -0.73017486 -0.75505049 -41.835938 -43.261206
    Oben rechts KachelX + 1 1573 KachelY 2595 -0.72864087 -0.75505049 -41.748047 -43.261206
    Unten links KachelX 1572 KachelY + 1 2596 -0.73017486 -0.75616700 -41.835938 -43.325178
    Unten rechts KachelX + 1 1573 KachelY + 1 2596 -0.72864087 -0.75616700 -41.748047 -43.325178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75505049--0.75616700) × R
    0.00111651000000001 × 6371000     		dl = 7113.2852100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75505049--0.75616700) × R
    0.00111651000000001 × 6371000     		dr = 7113.2852100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73017486--0.72864087) × cos(-0.75505049) × R
    0.00153398999999999 × 0.728236942029552 × 6371000     		do = 7117.09625749056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73017486--0.72864087) × cos(-0.75616700) × R
    0.00153398999999999 × 0.727471315575443 × 6371000     		du = 7109.6137516512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75505049)-sin(-0.75616700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728236942029552-0.727471315575443)×R²
    abs(-0.72864087--0.73017486)×0.000765626454109158×R²
    0.00153398999999999×0.000765626454109158×6371000²
    0.00153398999999999×0.000765626454109158×40589641000000     		ar = 50599328.2038993m²