Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1575 / 2599
↖ ↑ ↗
← S 43.516688°
W 41.572265°		 ← 7 087.11 m → S 43.516688°
W 41.484375°		 →
↑
7 083.41 m
↓
↑
7 083.41 m
↓
S 43.580391°
W 41.572265°		 ← 7 079.63 m →
50 174 393 m²		 S 43.580391°
W 41.484375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3846435546875 y=0.6346435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3846435546875 × 212)
    floor (0.3846435546875 × 4096)
    floor (1575.5)     		tx = 1575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6346435546875 × 212)
    floor (0.6346435546875 × 4096)
    floor (2599.5)     		ty = 2599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1575 / 2599 ti = "12/1575/2599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1575/2599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1575 ÷ 212
    1575 ÷ 4096     		x = 0.384521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2599 ÷ 212
    2599 ÷ 4096     		y = 0.634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384521484375 × 2 - 1) × π
    -0.23095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.72557291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634521484375 × 2 - 1) × π
    -0.26904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.84522341410083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72557291} λ = -0.72557291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84522341410083))-π/2
    2×atan(0.429461399759434)-π/2
    2×0.405643416155645-π/2
    0.81128683231129-1.57079632675     		φ = -0.75950949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72557291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.572265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75950949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.516688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1575 KachelY 2599 -0.72557291 -0.75950949 -41.572265 -43.516688
    Oben rechts KachelX + 1 1576 KachelY 2599 -0.72403893 -0.75950949 -41.484375 -43.516688
    Unten links KachelX 1575 KachelY + 1 2600 -0.72557291 -0.76062131 -41.572265 -43.580391
    Unten rechts KachelX + 1 1576 KachelY + 1 2600 -0.72403893 -0.76062131 -41.484375 -43.580391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75950949--0.76062131) × R
    0.00111181999999999 × 6371000     		dl = 7083.40521999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75950949--0.76062131) × R
    0.00111181999999999 × 6371000     		dr = 7083.40521999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72557291--0.72403893) × cos(-0.75950949) × R
    0.00153398000000005 × 0.725173846387604 × 6371000     		do = 7087.11426891324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72557291--0.72403893) × cos(-0.76062131) × R
    0.00153398000000005 × 0.724407837082572 × 6371000     		du = 7079.62807025501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75950949)-sin(-0.76062131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725173846387604-0.724407837082572)×R²
    abs(-0.72403893--0.72557291)×0.00076600930503179×R²
    0.00153398000000005×0.00076600930503179×6371000²
    0.00153398000000005×0.00076600930503179×40589641000000     		ar = 50174393.4863956m²