Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1576 / 2600
↖ ↑ ↗
← S 43.580391°
W 41.484375°		 ← 7 079.63 m → S 43.580391°
W 41.396484°		 →
↑
7 075.89 m
↓
↑
7 075.89 m
↓
S 43.644026°
W 41.484375°		 ← 7 072.14 m →
50 068 168 m²		 S 43.644026°
W 41.396484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3848876953125 y=0.6348876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3848876953125 × 212)
    floor (0.3848876953125 × 4096)
    floor (1576.5)     		tx = 1576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6348876953125 × 212)
    floor (0.6348876953125 × 4096)
    floor (2600.5)     		ty = 2600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1576 / 2600 ti = "12/1576/2600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1576/2600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1576 ÷ 212
    1576 ÷ 4096     		x = 0.384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2600 ÷ 212
    2600 ÷ 4096     		y = 0.634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384765625 × 2 - 1) × π
    -0.23046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72403893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634765625 × 2 - 1) × π
    -0.26953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.846757394888672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72403893} λ = -0.72403893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846757394888672))-π/2
    2×atan(0.428803119246996)-π/2
    2×0.405087508538022-π/2
    0.810175017076043-1.57079632675     		φ = -0.76062131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72403893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76062131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.580391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1576 KachelY 2600 -0.72403893 -0.76062131 -41.484375 -43.580391
    Oben rechts KachelX + 1 1577 KachelY 2600 -0.72250495 -0.76062131 -41.396484 -43.580391
    Unten links KachelX 1576 KachelY + 1 2601 -0.72403893 -0.76173195 -41.484375 -43.644026
    Unten rechts KachelX + 1 1577 KachelY + 1 2601 -0.72250495 -0.76173195 -41.396484 -43.644026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76062131--0.76173195) × R
    0.00111064000000005 × 6371000     		dl = 7075.88744000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76062131--0.76173195) × R
    0.00111064000000005 × 6371000     		dr = 7075.88744000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72403893--0.72250495) × cos(-0.76062131) × R
    0.00153397999999993 × 0.724407837082572 × 6371000     		do = 7079.6280702545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72403893--0.72250495) × cos(-0.76173195) × R
    0.00153397999999993 × 0.723641746713376 × 6371000     		du = 7072.14107935728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76062131)-sin(-0.76173195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724407837082572-0.723641746713376)×R²
    abs(-0.72250495--0.72403893)×0.000766090369195505×R²
    0.00153397999999993×0.000766090369195505×6371000²
    0.00153397999999993×0.000766090369195505×40589641000000     		ar = 50068167.9364381m²