Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1576 / 3624
↖ ↑ ↗
← S 79.812302°
W 41.484375°		 ← 1 728.58 m → S 79.812302°
W 41.396484°		 →
↑
1 727.24 m
↓
↑
1 727.24 m
↓
S 79.827836°
W 41.484375°		 ← 1 725.97 m →
2 983 426 m²		 S 79.827836°
W 41.396484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3848876953125 y=0.8848876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3848876953125 × 212)
    floor (0.3848876953125 × 4096)
    floor (1576.5)     		tx = 1576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8848876953125 × 212)
    floor (0.8848876953125 × 4096)
    floor (3624.5)     		ty = 3624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1576 / 3624 ti = "12/1576/3624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1576/3624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1576 ÷ 212
    1576 ÷ 4096     		x = 0.384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3624 ÷ 212
    3624 ÷ 4096     		y = 0.884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384765625 × 2 - 1) × π
    -0.23046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72403893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884765625 × 2 - 1) × π
    -0.76953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41755372163867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72403893} λ = -0.72403893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41755372163867))-π/2
    2×atan(0.0891394107709529)-π/2
    2×0.0889044343380513-π/2
    0.177808868676103-1.57079632675     		φ = -1.39298746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72403893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39298746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.812302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1576 KachelY 3624 -0.72403893 -1.39298746 -41.484375 -79.812302
    Oben rechts KachelX + 1 1577 KachelY 3624 -0.72250495 -1.39298746 -41.396484 -79.812302
    Unten links KachelX 1576 KachelY + 1 3625 -0.72403893 -1.39325857 -41.484375 -79.827836
    Unten rechts KachelX + 1 1577 KachelY + 1 3625 -0.72250495 -1.39325857 -41.396484 -79.827836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39298746--1.39325857) × R
    0.000271109999999908 × 6371000     		dl = 1727.24180999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39298746--1.39325857) × R
    0.000271109999999908 × 6371000     		dr = 1727.24180999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72403893--0.72250495) × cos(-1.39298746) × R
    0.00153397999999993 × 0.17687341280078 × 6371000     		do = 1728.58148966075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72403893--0.72250495) × cos(-1.39325857) × R
    0.00153397999999993 × 0.17660657073033 × 6371000     		du = 1725.97364568726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39298746)-sin(-1.39325857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17687341280078-0.17660657073033)×R²
    abs(-0.72250495--0.72403893)×0.000266842070449996×R²
    0.00153397999999993×0.000266842070449996×6371000²
    0.00153397999999993×0.000266842070449996×40589641000000     		ar = 2983426.05063714m²