Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1584 / 2609
↖ ↑ ↗
← S 44.150681°
W 40.781250°		 ← 7 012.27 m → S 44.150681°
W 40.693359°		 →
↑
7 008.48 m
↓
↑
7 008.48 m
↓
S 44.213710°
W 40.781250°		 ← 7 004.77 m →
49 119 088 m²		 S 44.213710°
W 40.693359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3868408203125 y=0.6370849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3868408203125 × 212)
    floor (0.3868408203125 × 4096)
    floor (1584.5)     		tx = 1584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6370849609375 × 212)
    floor (0.6370849609375 × 4096)
    floor (2609.5)     		ty = 2609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1584 / 2609 ti = "12/1584/2609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1584/2609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1584 ÷ 212
    1584 ÷ 4096     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2609 ÷ 212
    2609 ÷ 4096     		y = 0.636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.27392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.860563221979248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860563221979248))-π/2
    2×atan(0.42292381523713)-π/2
    2×0.40011078678807-π/2
    0.800221573576139-1.57079632675     		φ = -0.77057475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77057475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.150681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1584 KachelY 2609 -0.71176709 -0.77057475 -40.781250 -44.150681
    Oben rechts KachelX + 1 1585 KachelY 2609 -0.71023310 -0.77057475 -40.693359 -44.150681
    Unten links KachelX 1584 KachelY + 1 2610 -0.71176709 -0.77167481 -40.781250 -44.213710
    Unten rechts KachelX + 1 1585 KachelY + 1 2610 -0.71023310 -0.77167481 -40.693359 -44.213710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77057475--0.77167481) × R
    0.00110006000000007 × 6371000     		dl = 7008.48226000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77057475--0.77167481) × R
    0.00110006000000007 × 6371000     		dr = 7008.48226000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.71023310) × cos(-0.77057475) × R
    0.0015339900000001 × 0.717510447328143 × 6371000     		do = 7012.26568533878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.71023310) × cos(-0.77167481) × R
    0.0015339900000001 × 0.716743769031627 × 6371000     		du = 7004.77289979068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77057475)-sin(-0.77167481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717510447328143-0.716743769031627)×R²
    abs(-0.71023310--0.71176709)×0.000766678296515999×R²
    0.0015339900000001×0.000766678296515999×6371000²
    0.0015339900000001×0.000766678296515999×40589641000000     		ar = 49119088.0841961m²